Simmetrie

’n Figuur wat van bo na onder, van links na regs en langs altwee diagonale simmetries is.

Simmetrie (van die Griekse συν, "saam", en μετρον, "maat") by ’n voorwerp is wanneer twee helftes van die voorwerp mekaar se spieëlbeeld is. Dit kan geld vir ’n punt, lyn of plat vlak.

* Die letter A is simmetries ten opsigte van die vertikale as.
* Die letter B is simmetries ten opsigte van die horisontale as.

## Wiskunde

[wysig | wysig bron]

Wiskundig kan simmetrie in simmetrie-elemente weergegee word.[1] 'n Element is 'n operator wat die koördinate van een punt omsit na die koördinate van 'n simmetries gelykwaardige punt. 'n Voorbeeld is 'n spieëlvlak in die 'n (x,y)-vlak in drie dimensies. Ons kan dit aangee met die simbool mz. Die spieël-operasie mz uitgevoer op 'n punt (x,y,z) gee

Translasiesimmetrie

m z ( x , y , z ) → ( x , y , − z ) {\displaystyle m_{z}(x,y,z)\to (x,y,-z)}

of:

m z ( x , y , z ) → ( x , y , z ¯ ) {\displaystyle m_{z}(x,y,z)\to (x,y,{\bar {z}})}

Spieëling is 'n voorbeeld van rotasiesimmetrie. Daar bestaan andere soorte simmetrieë soos die translasiesimmetrie waar 'n verskuiwing 'τ tot 'n gelywaardige punt voer. 'n Translasie-element T kan geskryf word as:

T z ( x , y , z ) → ( x , y , z + τ ) {\displaystyle T_{z}(x,y,z)\to (x,y,z+\tau )}

## Soorte rotasiesimmetrie

[wysig | wysig bron]

Spieëlvlakke is net een vorm van rotasiesimmtrie. Andere vorme is:

1. inversiepunte
2. rotasie-asse
3. rotasiespieëlasse of rotasie-inversie-asse

### Inversiepunt

[wysig | wysig bron]

Die inversiepunt i keer alle drie koördinate om

i ( x , y , z ) → ( x ¯ , y ¯ , z ¯ ) {\displaystyle i(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}

### Rotasie-asse

[wysig | wysig bron]

Drietallige simmetrie

'n Rotasie-as van orde n draai 'n punt oor 'n sekere hoek  2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}

Vir n=2 gee dit 'n tweetallige as C2z en die operasie kan geskryf word as:

C 2 z ( x , y , z ) → ( x ¯ , y ¯ , z ) {\displaystyle C_{2z}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)}

Hier het ons die z-as as draaiingsas gekies, maar ook andere asse kan gekies word

C 2 x ( x , y , z ) → ( x , y ¯ , z ¯ ) {\displaystyle C_{2x}(x,y,z)\to (x,{\bar {y}},{\bar {z}})}
C 2 y ( x , y , z ) → ( x ¯ , y , z ¯ ) {\displaystyle C_{2y}(x,y,z)\to ({\bar {x}},y,{\bar {z}})}
Viertallige simmetrie

'n Viertallige as (n=4) draai 'n punt met 90 grade. Dié operasie moet vier maal uitgevoer word om terug te keer tot die oorsponklike punt

C 4 z ( x , y , z ) → ( y ¯ , x , z ) {\displaystyle C_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,z)}
C 4 z 2 ( x , y , z ) → ( x ¯ , y ¯ , z ) {\displaystyle C_{4z}^{2}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)}
C 4 z 3 ( x , y , z ) → ( y , x ¯ , z ) {\displaystyle C_{4z}^{3}(x,y,z)\to (y,{\bar {x}},z)}
C 4 z 4 ( x , y , z ) → ( x , y , z ) {\displaystyle C_{4z}^{4}(x,y,z)\to (x,y,z)}

### Rotasiespieëlasse

[wysig | wysig bron]

Die operasie van 'n rotasiespieëlas kan gesien word as 'n rotasie gevolg deur 'n spieëling.

Die element S4z is 'n voorbeeld: rotasie oor 90 grade om die z-as gevolg deur spieëling om die (x,y) vlak. Die kombinasie gee die operasie:

S 4 z ( x , y , z ) → ( y ¯ , x , z ¯ ) {\displaystyle S_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,{\bar {z}})}

'n Alternatief is die te beskryf as rotasie gevolg deur inversie (met simbool  4 ¯ {\displaystyle {\bar {4}}} ), maar die twee bekrywings is nie heeltemaal identiek nie, omdat rotasie+inversie die element S34z oplewer.

## Groepe

[wysig | wysig bron]

Simmetrie-elemente kan gekombineer word en vorm wiskundige groepe.

'n Wiskundige groep bevat

1. die eenheidselement E
2. moontlik andere elemente
3. alle elemente wat uit kombinasies gevorm kan word
4. resiproke elemente vir alle elemente in die groep

Die eenheidselement is 'n operasie wat die koördinate van die punt nie verander nie:

E ( x , y , z ) → ( x , y , z ) {\displaystyle E(x,y,z)\to (x,y,z)}

Die kombinasie van mz met homself lewer E op:

m z m z ( x , y , z ) → m z ( x , y , − z ) → ( x , y , z ) {\displaystyle m_{z}m_{z}(x,y,z)\to m_{z}(x,y,-z)\to (x,y,z)}

Dat wil sê dat die twee elemente mz en E saam 'n wiskundige groep vorm. Groepe kan egter baie meer elemente bevat as net twee, soos in dié geval.

'n Voorbeeld is die groep {E, C2x,C2y,C2z} wat uit vier elemente bestaan, waarby C2xC2x=E, maar C2xC2y=C2z

## Belangrike wiskundige begrippe in simmetrie

[wysig | wysig bron]

Lynsimmetrie: Wanneer ŉ vorm gevou kan word sodat die een helfte van die vorm presies op die ander helfte van die vorm kan pas.

Simmetrielyn: Die lyn wat ŉ vorm in twee identiese helftes verdeel.

Rotasiesimmetrie: Wanneer jy ŉ vorm kan draai (roteer) om in sigself te pas voordat ŉ volle omwenteling voltooi is.

* Na ŉ  draai lyk die vorm presies soos dit gelyk het voordat jy dit gedraai het.
* Na ŉ volle draai lyk die vorm presies soos dit gelyk het voordat jy dit gedraai het.
* ŉ Sirkel het ŉ oneindige orde van rotasiesimmetrie.

Orde van rotasiesimmetrie: Die aantal kere wat die vorm in sigself kan pas terwyl ŉ omwenteling voltooi word.

Oneindig: Hou nie op nie/kan nie getel word nie.

Roteer/rotasie: Draai.

## Voorbeelde

[wysig | wysig bron]

### 1) Een simmetrielyn

[wysig | wysig bron]

### 2) Twee simmetrielyne

[wysig | wysig bron]

### 3) Meer as twee simmetrielyne

[wysig | wysig bron]

## Verwysings

[wysig | wysig bron]

1. ↑ "otterbein" (in Engels). Geargiveer vanaf die oorspronklike op 13 Mei 2019. Besoek op 8 Januarie 2016.

Normdata: Nasionaal |

* Duitsland
* Verenigde State
* Frankryk
* BnF-data
* Tsjeggië
* Israel

|