Arens-Fort-Raum

Der Arens-Fort-Raum, benannt nach den Mathematikern R. F. Arens und M. K. Fort, ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes, der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

## Definition

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Typische Nullumgebung, nur die Spalten 2,3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte (unter der Annahme, dass das Muster der obersten 6 Punkte fortgesetzt wird).

Die zugrunde liegende Menge ist  N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} , also die Menge aller Paare  ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} natürlicher Zahlen  m , n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . {\displaystyle m,n=0,1,2,3,4,....} . Die Teilmenge  { ( m , n ) ; n ∈ N } {\displaystyle \\{(m,n);n\in \mathbb {N} \\}} heißt  m {\displaystyle m} -te Spalte. Die Menge  N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} wird zu einem topologischen Raum, dem Arens-Fort-Raum, indem die folgenden Mengen als offen erklärt werden:

* Jede Menge in  N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} , die den Nullpunkt  ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} nicht enthält.
* Jede Menge, die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen außer endlich vielen Spalten enthält.

## Topologische Eigenschaften

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* Der Arens-Fort-Raum ist ein normaler Hausdorff-Raum.
* Jeder Punkt ist abzählbarer Durchschnitt abgeschlossener Umgebungen.
* Der Arens-Fort-Raum ist ein Lindelöf-Raum.
* Genau die endlichen Teilmengen sind kompakt.
* Der Arens-Fort-Raum ist hemikompakt.[1]

## Fehlende Eigenschaften

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* Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht metrisierbar.
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

## Gegenbeispiele

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* In metrischen Räumen folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* Zählt man die Punkte aus  N 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}\setminus \\{(0,0)\\}} wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab, so erhält man eine Folge  ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} , die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.

x 6 ↑ ↘ x 5 x 7 ⋱ ↖ ↘ ↖ x 1 x 4 x 8 x 11 ↘ ↖ ↘ ↖ x 2 → x 3 x 9 → x 10 {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}x_{6}\\\\\uparrow &\searrow \\\x_{5}&&x_{7}&&\ddots \\\&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\\x_{1}&&x_{4}&&x_{8}&&x_{11}\\\&\searrow &&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\\&&x_{2}&\rightarrow &x_{3}&&x_{9}&\rightarrow &x_{10}\end{array}}}
( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ist einziger Häufungspunkt dieser Folge, aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen  ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} .

* Unterräume von Kelley-Räumen sind im Allgemeinen keine Kelley-Räume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, denn die kompakten Teilmengen sind genau die endlichen, er ist aber mittels Stone-Čech-Kompaktifizierung Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
* Aus der kompakten Konvergenz folgt nicht die lokal gleichmäßige Konvergenz. Betrachtet man die durch

f k ( m , n ) = { 1 falls  m + n  ungerade und  m + n ≤ k 0 , sonst {\displaystyle f_{k}(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade und }}m+n\leq k\\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}
und

f ( m , n ) = { 1 falls  m + n  ungerade 0 , sonst {\displaystyle f(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade}}\\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}
definierten Funktionen  N 2 → R {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } , so konvergiert die Funktionenfolge  ( f k ) k ∈ N {\displaystyle (f_{k})_{k\in \mathbb {N} }} punktweise gegen  f {\displaystyle f} . Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion  f k {\displaystyle f_{k}} ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung  { ( 0 , 0 ) } ∪ ( N 2 ∖ { 0 , … , k } 2 ) {\displaystyle \\{(0,0)\\}\cup (\mathbb {N} ^{2}\setminus \\{0,\ldots ,k\\}^{2})} konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion  f {\displaystyle f} ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.

## Literatur

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* Richard Arens: Note of Convergence in Topology. In: Mathematics Magazine. Bd. 23, Nr. 5, 1950, S. 229–234, doi:10.2307/3028991.
* Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.
* K. D. Joshi: Introduction to General Topology. New Age International, 1983, ISBN 978-0-470-27556-6 (englisch).

## Einzelnachweise

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1. ↑ Joshi 1983, Chapter 4, Section 2, Example 10