Bandknoten

Eine Scheibe mit zwei Bandsingularitäten

In der Mathematik bezeichnet man einen Knoten als Bandknoten, wenn er eine Scheibe berandet, deren Selbstschnitte nur aus Bandsingularitäten bestehen.

## Definition

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Der Knoten  9 41 {\displaystyle 9_{41}} in einer Darstellung als Bandknoten

Ein Bandknoten ist ein als Rand einer immersierten Kreisscheibe f : D 2 → S 3 {\displaystyle f\colon D^{2}\to S^{3}} eingebetteter Knoten  K = f ( S 1 ) {\displaystyle K=f(S^{1})} , wobei die Immersion der Kreisscheibe die folgende Eigenschaft hat: jede Komponente des Selbstschnitts ist ein Intervall  A ⊂ f ( D 2 ) {\displaystyle A\subset f(D^{2})} , für das  f − 1 ( A ) {\displaystyle f^{-1}(A)} aus zwei Intervallen in  D 2 {\displaystyle D^{2}} besteht, von denen wiederum eines vollständig im Inneren von  D 2 {\displaystyle D^{2}} liegt. Die Abbildungen zeigen Beispiele mit zwei bzw. drei Bandsingularitäten.

## Slice-Ribbon-Vermutung

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Jeder Bandknoten ist ein Scheibenknoten. Eine Vermutung von Ralph Fox besagt, dass auch umgekehrt jeder (glatte) Scheibenknoten ein Bandknoten ist (eine Vermutung von 1961, siehe Literatur).

## Literatur

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* Ralph Fox: Some problems in knot theory, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, S. 168–176.

## Weblinks

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* Ribbon Knot (MathWorld)