Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

## Definition

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen,  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ist eine  n {\displaystyle n} -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

{ X i } i = 1 n {\displaystyle \\{X_{i}\\}_{i=1}^{n}}

irgendeine Basis von  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} und

{ X i } i = 1 n {\displaystyle \\{X^{i}\\}_{i=1}^{n}}

sei die Dualbasis von  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} . Das quadratische Casimir-Element Ω {\displaystyle \Omega } ist das durch die Formel

Ω = ∑ i = 1 n X i X i {\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}}

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra  U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element  Ω {\displaystyle \Omega } davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra  U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} liegt.

Sei  ρ {\displaystyle \rho } eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum  V {\displaystyle V} . Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante ρ ( Ω ) {\displaystyle \rho (\Omega )} der durch

ρ ( Ω ) = ∑ i = 1 n ρ ( X i ) ρ ( X i ) {\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i})}

gegebene lineare Operator auf  V {\displaystyle V} .

## Anwendungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe G {\displaystyle G} mit zugehöriger Lie-Algebra  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} , so werden die Elemente von  g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf  M {\displaystyle M} beschrieben. Sei  ρ {\displaystyle \rho } die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf  M {\displaystyle M} . In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der  G {\displaystyle G} -invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf  M {\displaystyle M} .

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

## Literatur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5