Frame (Hilbertraum)

Ein Frame ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes.

## Definition

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Es sei  H {\displaystyle H} ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } und davon induzierter Norm ‖ ⋅ ‖ = ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ . {\displaystyle \|\cdot \|={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}.} Eine Familie  { f j } j ∈ Z ⊂ H {\displaystyle \left\\{f_{j}\right\\}_{j\in \mathbb {Z} }\subset H} heißt Frame von  H {\displaystyle H} , wenn es  0 < m ≤ M {\displaystyle 0<m\leq M} gibt, so dass für alle  f ∈ H {\displaystyle f\in H} die Ungleichung

m | | f | | 2 ≤ ∑ j ∈ Z | ⟨ f , f j ⟩ | 2 ≤ M | | f | | 2 {\displaystyle m\left|\left|f\right|\right|^{2}\leq \sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}\leq M\left|\left|f\right|\right|^{2}}

gilt. Dies bedeutet, dass die  ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} -Norm der Folge der Fourierkoeffizienten  ( ⟨ f , f j ⟩ ) j ∈ Z {\displaystyle (\langle f,f_{j}\rangle )_{j\in \mathbb {Z} }} in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion  f {\displaystyle f} steht.

Kann darin  m = M {\displaystyle m=M} gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für  m = M = 1 {\displaystyle m=M=1} erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle  f ∈ H {\displaystyle f\in H} die parsevalsche Gleichung

| | f | | 2 = ∑ j ∈ Z | ⟨ f , f j ⟩ | 2 {\displaystyle \left|\left|f\right|\right|^{2}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}} .

## Beispiel

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* Die Vektoren  ( 1 / 2 , 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , i / 2 ) , ( 1 / 2 , − 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , − i / 2 ) {\displaystyle (1/2,1/2),\,(1/2,i/2),\,(1/2,-1/2),\,(1/2,-i/2)} sind ein straffer Frame für den  C 2 . {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}

## Eigenschaften

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* Jedes Frame  { f j } j ∈ Z {\displaystyle \left\\{f_{j}\right\\}_{j\in \mathbb {Z} }} ist ein Erzeugendensystem von  H {\displaystyle H} im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt  span ⁡ { f j } ¯ = H {\displaystyle {\overline {\operatorname {span} \\{f_{j}\\}}}=H} .
* Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
* Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung  f = ∑ j ∈ Z ⟨ f , f j ⟩ f j {\displaystyle \textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\langle f,f_{j}\rangle f_{j}} gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten { c j } j ∈ Z {\displaystyle \\{c_{j}\\}_{j\in \mathbb {Z} }} geben mit  f = ∑ j ∈ Z c j f j . {\displaystyle \textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }c_{j}f_{j}\,.}

## Literatur

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* Ole Christensen: An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4295-1.

## Weblinks

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* Frame bei PlanetMath