Fuhrmann-Kreis

Fuhrmann-Kreis mit Fuhrmann-Dreieck (rot),
Nagel-Punkt  N {\displaystyle N} und Höhenschnittpunkt  H {\displaystyle H}
| A P a | = B P b | = | C P c | = 2 r {\displaystyle |AP_{a}|=BP_{b}|=|CP_{c}|=2r}

Der Fuhrmann-Kreis, benannt nach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), ist ein spezieller Kreis am Dreieck. Für ein gegebenes Dreieck mit Nagel-Punkt N {\displaystyle N} und Höhenschnittpunkt H {\displaystyle H} kann man den Fuhrmann-Kreis als denjenigen Kreis definieren, der die Strecke  N H {\displaystyle NH} als Durchmesser besitzt. Der so definierte Kreis ist identisch mit dem Umkreis des zum gegebenen Dreieck gehörenden Fuhrmann-Dreiecks.

Der Radius des Fuhrmann-Kreises  R F {\displaystyle R_{F}} entspricht dem Abstand der Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis des gegebenen Dreiecks. Mit dem Satz von Euler ergibt sich hiermit:

R F = R ( R − 2 r ) {\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}}

Hierbei bezeichnet  R {\displaystyle R} den Radius des Umkreises und  r {\displaystyle r} den Radius des Inkreises.

Der Fuhrmann-Kreis schneidet die Höhen des Dreiecks neben dem gemeinsamen Höhenschnittpunkt  H {\displaystyle H} jeweils in einem weiteren Punkt. Jeder dieser Punkte besitzt den Abstand  2 r {\displaystyle 2r} vom zugehörigen Eckpunkt (siehe Zeichnung). Da der Fuhrmann-Kreis mit diesen drei Punkten zusammen mit dem Nagel-Punkt, dem Höhenschnittpunkt und den Eckpunkten des Fuhrmann-Dreiecks insgesamt acht besondere Punkte besitzt, wird er manchmal auch als Acht-Punkte-Kreis bezeichnet.

## Literatur

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* Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
* Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
* J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR)

## Weblinks

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Commons: Fuhrmann circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

* Eric W. Weisstein: Fuhrmann circle. In: MathWorld (englisch).
* Fuhrmann circle