Ideal (Verbandstheorie)

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Verbandes ( V , ∨ , ∧ ) {\displaystyle (V,\vee ,\wedge )} eine Teilmenge  I , {\displaystyle I,} die bezüglich beider Verbandsoperationen und bezüglich  ∧ {\displaystyle \wedge } sogar mit Elementen aus dem gesamten Verband abgeschlossen ist. Die Bezeichnung ist angelehnt an den Begriff des Ideals in der Ringtheorie.

## Definition für Verbände

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Sei  V {\displaystyle V} ein Verband. Ein Ideal  I {\displaystyle I} von  V {\displaystyle V} ist eine nicht leere Teilmenge von  V {\displaystyle V} für die gilt:

* I {\displaystyle I} ist ein Unterverband von  V {\displaystyle V} und
* für alle  a ∈ I {\displaystyle a\in I} und  b ∈ V {\displaystyle b\in V} ist  a ∧ b ∈ I . {\displaystyle a\wedge b\in I.}

## Allgemeine Definition

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Eine Halbordnung ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} heißt bedingter Oberhalbverband (englisch conditional upper semi-lattice, kurz: Cusl), falls jedes beschränkte Paar ein Supremum besitzt, also falls für alle  a , b ∈ P {\displaystyle a,b\in P} gilt: Existiert  u ∈ P {\displaystyle u\in P} mit  a , b ≤ u {\displaystyle a,b\leq u} , so existiert eine kleinste obere Schranke  a ∨ b = sup { a , b } ∈ P {\displaystyle a\vee b=\sup\\{a,b\\}\in P} .[1]

Sei  ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} ein Cusl. Eine nicht-leere Teilmenge  I ⊆ P {\displaystyle I\subseteq P} heiße ein Ideal von  P {\displaystyle P} , falls gelten:[1]

* I {\displaystyle I} ist nach unten abgeschlossen, d. h., für  a ∈ P {\displaystyle a\in P} ,  b ∈ I {\displaystyle b\in I} und  a ≤ b {\displaystyle a\leq b} gilt  a ∈ I {\displaystyle a\in I} .
* Sind Paarmengen  { a , b } ⊆ I {\displaystyle \\{a,b\\}\subseteq I} in  P {\displaystyle P} beschränkt, d. h., es gibt ein  u ∈ P {\displaystyle u\in P} mit  a , b ≤ u {\displaystyle a,b\leq u} , so ist  a ∨ b ∈ I {\displaystyle a\vee b\in I} .

## σ-Ideale

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Ein Cusl heißt σ-Cusl, falls für alle abzählbaren Teilmengen  A = { a n } n ∈ N ⊆ P {\displaystyle A=\\{a_{n}\\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq P} von  P {\displaystyle P} gilt: Ist  A {\displaystyle A} nach oben beschränkt, so gibt es ein Supremum  sup A = ⋁ n ∈ N a n ∈ P {\textstyle \sup A=\bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in P} .

Ein Ideal  I ⊆ P {\displaystyle I\subseteq P} eines σ-Cusl P {\displaystyle P} heißt σ-Ideal, falls alle in  P {\displaystyle P} nach oben beschränkten, abzählbaren Teilmengen von  I {\displaystyle I} ihr Supremum in  I {\displaystyle I} haben. Das heißt, ist  { a n } n ∈ N ⊆ I {\displaystyle \\{a_{n}\\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I} und gibt es ein  u ∈ P {\displaystyle u\in P} , sodass  a n ≤ u {\displaystyle a_{n}\leq u} für alle  n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , so ist  ⋁ n ∈ N a n ∈ I {\textstyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in I} .

## Eigenschaften

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Offenbar ist jeder Verband ein Cusl; in einem Verband definiert man  a ≤ b {\displaystyle a\leq b} als  a ∧ b = a {\displaystyle a\wedge b=a} .

Die allgemeine Definition schließt die für Verbände mit ein.

## Siehe auch

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* Filter (Mathematik)

## Referenzen

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1. ↑ a b Viggo Stoltenberg-Hansen, Ingrid Lindstrom und Edward R. Griffor: Mathematical theory of domains. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 1994.