Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

## Inhaltsverzeichnis

* 1 Definition
* 2 Eigenschaften
* 3 Beispiele
* 4 Literatur
* 5 Einzelnachweise

## Definition

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Es sei  M {\displaystyle M} ein Modul über einem Ring A {\displaystyle A} . Die Länge von  M {\displaystyle M} ist das Supremum der Längen  n {\displaystyle n} von Ketten von Untermoduln der Form[1]

0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ N 2 ⊊ ⋯ ⊊ N n = M . {\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \dotsb \subsetneq N_{n}=M.}

Die Länge wird oft mit  ℓ A ( M ) {\displaystyle \ell _{A}(M)} oder  ℓ ( M ) {\displaystyle \ell (M)} bezeichnet.

## Eigenschaften

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* Nur der Nullmodul hat Länge 0.
* Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
* Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.[2]
* Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

0 -> M ′ -> M -> M ″ -> 0 {\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}
exakt, so ist  ℓ ( M ) = ℓ ( M ′ ) + ℓ ( M ″ ) {\displaystyle \ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')} ; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

* Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

## Beispiele

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* Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
* Der  Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -Modul  Z {\displaystyle \mathbb {Z} } hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl  n {\displaystyle n} ist

0 ⊂ 2 n Z ⊂ 2 n − 1 Z ⊂ ⋯ ⊂ Z {\displaystyle 0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \dotsb \subset \mathbb {Z} }
eine Kette von Untermoduln der Länge  n + 1 {\displaystyle n+1} .

## Literatur

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* Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.

## Einzelnachweise

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1. ↑ Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage 2006, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 72.
2. ↑ Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0, S. 3.