Logit

Grafische Darstellung der Logit-Funktion logit(p) im Definitionsbereich von 0 bis 1, wobei die Basis des Logarithmus e ist.

Ein Logit ist in der Statistik der natürliche Logarithmus einer Chance, d. h. der Wahrscheinlichkeit p {\displaystyle p} geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p {\displaystyle 1-p} . Unter der Logit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der logistischen Regression zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

## Definition

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Ein Logit ist der natürliche Logarithmus einer Chance (Wahrscheinlichkeit  p {\displaystyle p} durch Gegenwahrscheinlichkeit  1 − p {\displaystyle 1-p} , engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit  0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} [1], d. h.

logit ⁡ ( p ) := ln ⁡ ( p 1 − p ) = ln ⁡ ( odds ⁡ ( p ) ) . {\displaystyle \operatorname {logit} (p):=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln \left(\operatorname {odds} (p)\right)\;.}

Die Funktion  logit : ( 0 , 1 ) → R {\displaystyle \operatorname {logit} \colon (0,1)\to \mathbb {R} } heißt Logit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten  p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} in  logit ⁡ ( p ) ∈ R {\displaystyle \operatorname {logit} (p)\in \mathbb {R} } transformiert werden, spricht man auch von einer Logit-Transformation.

## Eigenschaften

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* Die Logit-Funktion kann auch mit dem Areatangens Hyperbolicus dargestellt werden,

logit ⁡ ( p ) = 2 artanh ⁡ ( 2 p − 1 ) , 0 < p < 1 . {\displaystyle \operatorname {logit} (p)=2\operatorname {artanh} (2p-1),\quad 0<p<1\;.}

* Es gilt

logit ⁡ ( p ) { < 0 für  p < 1 / 2 = 0 für  p = 1 / 2 > 0 für  p > 1 / 2 . {\displaystyle \operatorname {logit} (p){\begin{cases}<0&{\text{für }}p<1/2\\\=0&{\text{für }}p=1/2\\\>0&{\text{für }}p>1/2\end{cases}}\;.}

* Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

logit ⁡ ( 1 − p ) = − logit ⁡ ( p ) für alle  0 < p < 1 {\displaystyle \operatorname {logit} (1-p)=-\operatorname {logit} (p)\quad {\text{für alle }}0<p<1}

* Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

logit ′ ⁡ ( p ) = 1 p ( 1 − p ) > 0 für alle  0 < p < 1 . {\displaystyle \operatorname {logit} '(p)={\frac {1}{p(1-p)}}>0\quad {\text{für alle }}0<p<1\;.}

* Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die Umkehrfunktion der Logit-Funktion ist die logistische Funktion (manchmal auch Expit oder Sigmoid genannt):

F logistisch ( x ) := logit − 1 ⁡ ( x ) = e x 1 + e x = 1 1 + e − x , x ∈ R {\displaystyle F_{\text{logistisch}}(x):=\operatorname {logit} ^{-1}(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {1}{1+e^{-x}}},\quad x\in \mathbb {R} } .

## Siehe auch

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* Probit

## Anwendung

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Die Logit-Funktion kann zur Linearisierung von sigmoiden Kurven verwendet werden und hat daher eine große Bedeutung für die Auswertung von ELISA-Kurven in der Biochemie erlangt.

Siehe auch: Abschnitt Auswertung des ELISAs mit Hilfe des Logit-Log-Plots in Enzyme-linked Immunosorbent Assay

Die Logit-Transformation ist von zentraler Bedeutung für die logistische Regression.

## Weblinks

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* Which Link Function — Logit, Probit, or Cloglog? 12.04.2023

## Einzelnachweise

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1. ↑ Torsten Becker et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 310.