Offenes Buch

In der Mathematik sind Offene Bücher (engl.: open book decompositions) gewisse Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten, die bei der Klassifikation von Kontaktstrukturen und bei der Konstruktion von Blätterungen nützlich sind.

## Definition

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei  M {\displaystyle M} eine geschlossene orientierte  n {\displaystyle n} -Mannigfaltigkeit. Ein offenes Buch auf  M {\displaystyle M} ist ein Paar  ( B , π ) {\displaystyle (B,\pi )} mit:

1. B {\displaystyle B} ist eine orientierte  ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} -dimensionale Untermannigfaltigkeit, die Bindung des offenen Buches.
2. π : M ∖ B -> S 1 {\displaystyle \pi \colon M\setminus B\to S^{1}} ist ein Faserbündel, so dass  π − 1 ( θ ) {\displaystyle \pi ^{-1}(\theta )} das Innere einer kompakten  ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionalen Mannigfaltigkeit  Σ θ {\displaystyle \Sigma _{\theta }} – der Seite des offenen Buches – und  ∂ Σ θ = B {\displaystyle \partial \Sigma _{\theta }=B} für alle  θ ∈ S 1 {\displaystyle \theta \in S^{1}} ist.

## Existenz

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz von Alexander (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt sich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension  n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre Signatur verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls  n {\displaystyle n} nicht durch 4 teilbar ist.)

## Blätterungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei  ( B , π ) {\displaystyle (B,\pi )} ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit  M {\displaystyle M} . Dann hat  M − B {\displaystyle M-B} eine Blätterung durch Fasern von  π {\displaystyle \pi } und auf einer Umgebung der Bindung  U ( B ) = B × D 2 {\displaystyle U(B)=B\times D^{2}} kann man die Reeb-Blätterung definieren, diese hat insbesondere  B × ∂ D 2 {\displaystyle B\times \partial D^{2}} als ein kompaktes Blatt. Durch Turbulisierung kann man die Blätterung auf  M ∖ U ( B ) {\displaystyle M\setminus U(B)} tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz  M {\displaystyle M} .

## Kontaktstrukturen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei  ( B , π ) {\displaystyle (B,\pi )} ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit  M {\displaystyle M} . Eine Kontaktstruktur  ξ = ker ⁡ ( α ) {\displaystyle \xi =\ker(\alpha )} wird von  ( B , π ) {\displaystyle (B,\pi )} getragen, wenn

1. d α {\displaystyle d\alpha } eine positive Volumenform auf jeder Seite  Σ θ {\displaystyle \Sigma _{\theta }} ist und
2. α > 0 {\displaystyle \alpha >0} auf der Bindung  B {\displaystyle B} .

Satz von Thurston-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt eine Kontaktstruktur.

Satz von Giroux (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur wird von einem offenen Buch getragen. Zwei vom selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen sind isotop.

## Literatur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* Etnyre: Lectures on open book decompositions and contact structures (PDF; 426 kB)
* Martínez: Open Book decompositions and contact geometry (PDF; 223 kB)

## Weblinks

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* Manifold Atlas: Open Book