Spitze (Differentialgeometrie)

Mannigfaltigkeit mit einer Spitze

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

## Inhaltsverzeichnis

* 1 Definition
* 2 Beispiele
* 3 Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten
* 4 Literatur
* 5 Siehe auch

## Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Spitze ist ein Ende E {\displaystyle E} einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ( M , g M ) {\displaystyle (M,g_{M})} , dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

E ≅ N × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle E\cong N\times \left[0,\infty \right)}

parametrisieren lässt mit

g M = d t 2 + e − 2 t g N {\displaystyle g_{M}=dt^{2}+e^{-2t}g_{N}} .

Hierbei ist  ( N , g N ) {\displaystyle (N,g_{N})} eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension  dim ⁡ ( N ) = dim ⁡ ( M ) − 1 {\displaystyle \operatorname {dim} (N)=\operatorname {dim} (M)-1} und  t ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle t\in \left[0,\infty \right)} ist der Parameter des zweiten Faktors in  N × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle N\times \left[0,\infty \right)} .

Die Mannigfaltigkeit  N {\displaystyle N} wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

## Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* Spitzen von  n {\displaystyle n} -dimensionalen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine  ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale flache Mannigfaltigkeit.
* Spitzen von  2 n {\displaystyle 2n} -dimensionalen komplex-hyperbolischen Mannigfaltigkeit haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur  ( 2 n − 1 ) {\displaystyle (2n-1)} -dimensionalen Heisenberg-Gruppe ist.
* Spitzen von quaternionisch-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur quaternionischen Heisenberg-Gruppe ist.
* In einem lokal symmetrischen Raum Γ ∖ G / K {\displaystyle \Gamma \backslash G/K} von endlichem Volumen und  Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -Rang r k Q ( Γ ) = 1 {\displaystyle rk_{\mathbb {Q} }(\Gamma )=1} sind alle Enden Spitzen, ihr Querschnitt kann aus der Langlands-Zerlegung bestimmt werden.

## Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit  M = Γ ∖ H n {\displaystyle M=\Gamma \backslash H^{n}} sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

Γ c ∖ H c {\displaystyle \Gamma _{c}\backslash H_{c}} ,

wobei  H c {\displaystyle H_{c}} ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen c ∈ ∂ ∞ H n {\displaystyle c\in \partial _{\infty }H^{n}} und  Γ c ⊂ Γ {\displaystyle \Gamma _{c}\subset \Gamma } eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt c {\displaystyle c} ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

rank ⁡ ( Γ c ) = dim ⁡ ( H c ) = dim ⁡ ( M ) − 1 {\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (H_{c})=\operatorname {dim} (M)-1} sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume  X {\displaystyle X} ) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen  c ∈ ∂ ∞ X {\displaystyle c\in \partial _{\infty }X} oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien  Γ c {\displaystyle \Gamma _{c}} mit  c {\displaystyle c} als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass  rank ⁡ ( Γ c ) = dim ⁡ ( M ) − 1 {\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (M)-1} ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten  Γ c ∖ H c {\displaystyle \Gamma _{c}\backslash H_{c}} betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit  Γ ∖ X {\displaystyle \Gamma \backslash X} ist. Wenn  r := rank ⁡ ( Γ c ) < dim ⁡ ( X ) − 1 {\displaystyle r:=\operatorname {rank} (\Gamma _{c})<\operatorname {dim} (X)-1} ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang- r {\displaystyle r} -Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil  M < ϵ {\displaystyle M_{<\epsilon }} einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit  M {\displaystyle M} entweder eine Spitze vom Rang  1 {\displaystyle 1} oder  2 {\displaystyle 2} oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu  D ∗ × R + {\displaystyle D^{*}\times R_{+}} mit  D ∗ = { z ∈ C : 0 < z < 1 } {\displaystyle D^{*}=\left\\{z\in \mathbb {C} \colon 0<z<1\right\\}} , die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu  T 2 × R + {\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} _{+}} für den Torus T 2 {\displaystyle T^{2}} .

## Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

## Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

* Spitze (Hyperbolische Geometrie)