Temperatur

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Temperatur (Begriffsklärung) aufgeführt.

Physikalische Größe

Name  | Thermodynamische Temperatur
Formelzeichen |  T {\displaystyle T} (für Angaben in Kelvin)
ϑ , t {\displaystyle \vartheta ,t} (für Angaben in Grad Celsius)
| Größen- und
Einheitensystem | Einheit | Dimension

|
|

SI | K, °C | Θ
Planck | Planck-Temperatur | Θ

Die Temperatur ist eine physikalische Zustandsgröße aus der Thermodynamik. Sie wird mit einem Thermometer in den SI-Einheiten Kelvin (K) und Grad Celsius (°C) gemessen. Im Alltag ist sie mit dem Gefühl von „warm“ und „kalt“ verbunden, die gemessene Temperatur kann sich aber erheblich von der gefühlten Temperatur unterscheiden.

Bringt man zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen in thermischen Kontakt, findet Wärmeübertragung statt. Die Wärme fließt dabei stets vom heißeren zum kälteren Körper. Dadurch nimmt die Temperaturdifferenz so lange ab, bis sich die beiden Temperaturen einander angeglichen haben. Wenn die Temperaturen gleich sind, herrscht thermisches Gleichgewicht, in dem kein Wärmeaustausch mehr stattfindet.

Die tiefste überhaupt mögliche Temperatur ist 0 K, gleichbedeutend mit −273,15 °C. Sie heißt Absoluter Nullpunkt. Die niedrigste im Universum jemals gemessene Temperatur wurde im Jahr 2018 im Bremer Fallturm der Universität Bremen erzeugt. Sie betrug für zwei Sekunden lediglich 38 Pikokelvin (38 Billionstel Grad Celsius über dem Absoluten Nullpunkt).[1]

Die mikroskopische Deutung der Temperatur ergibt sich in der statistischen Physik, die davon ausgeht, dass jeder materielle Stoff aus vielen Teilchen zusammengesetzt ist (meist Atome oder Moleküle), die sich in ständiger ungeordneter Bewegung befinden und eine Energie haben, die sich aus kinetischer, potentieller sowie gegebenenfalls auch innerer Anregungsenergie zusammensetzt. Eine Erhöhung der Temperatur verursacht eine Erhöhung der durchschnittlichen Energie der Teilchen. Im Zustand des thermischen Gleichgewichts verteilen sich die Energiewerte der einzelnen Teilchen statistisch gemäß einer Häufigkeitsverteilung, deren Form durch die Temperatur bestimmt wird (siehe – je nach Art der Teilchen – Boltzmann-Statistik, Fermi-Dirac-Statistik, Bose-Einstein-Statistik). Dieses Bild ist auch anwendbar, wenn es sich nicht um ein System materieller Teilchen, sondern um Photonen handelt (siehe Wärmestrahlung).

Im idealen Gas ist die gesamte innere Energie allein durch die kinetische Energie aller Teilchen gegeben, wobei der Durchschnittswert pro Teilchen proportional zur Absoluten Temperatur ist. Die Temperatureinheit Kelvin ist durch Festlegung des Proportionalitätsfaktors definiert und damit direkt an die Energieeinheit Joule angebunden. Vor der Revision des Internationalen Einheitensystems (SI) von 2019 war das Kelvin noch separat definiert.

Die Temperatur ist eine intensive Zustandsgröße. Das bedeutet, dass sie ihren Wert beibehält, wenn man den betrachteten Körper teilt. Dagegen hat die Innere Energie als extensive Größe die Eigenschaften einer Menge, die aufgeteilt werden kann.

## Physikalische Grundlagen

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### Überblick

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Alle Gase, Flüssigkeiten und festen Stoffe bestehen aus sehr kleinen Teilchen, den Atomen und Molekülen. Diese befinden sich in ständiger ungeordneter Bewegung und zwischen ihnen wirken Kräfte. Mit „ungeordnet“ meint man in diesem Zusammenhang, dass z. B. die Geschwindigkeitsvektoren der Teilchen eines Körpers, dessen Massenmittelpunkt ruht, gleichmäßig über alle Richtungen verteilt sind und sich auch in ihren Beträgen unterscheiden. Der Mittelwert der Geschwindigkeitsbeträge hängt von der Art des Stoffes, vom Aggregatzustand und vor allem von der Temperatur ab. Für gasförmige, flüssige und feste Körper gilt: Je höher die Temperatur des Körpers ist, desto größer ist die mittlere Geschwindigkeit seiner Teilchen. Allgemein gilt dies auch für alle anderen Energieformen, in denen die Teilchen Energie in ungeordneter Weise besitzen können, z. B. Drehbewegungen, Schwingungen (dazu zählen im Kristallgitter der festen Körper auch Gitterschwingungen der Teilchen um ihre Ruhelage). Dieser anschauliche Zusammenhang legt schon nahe, dass es eine tiefste mögliche Temperatur gibt, den absoluten Nullpunkt, an dem sich die kleinsten Teilchen nicht stärker bewegen, als es aufgrund der quantenmechanischen Unschärferelation unvermeidlich ist (Nullpunktsenergie).

Eine bestimmte Temperatur, die im ganzen System einheitlich gilt, existiert nur, wenn das System im Zustand des thermischen Gleichgewichts ist. Systeme, die nicht im Gleichgewichtszustand sind, bestehen oft aus Teilsystemen mit jeweils eigenen Temperaturen, z. B. Leitungswasser und Eiswürfel in einem Glas, oder die Elektronen und Ionen in einem Nichtgleichgewichts-Plasma, oder die Freiheitsgrade jeweils für Translation, Rotation oder Vibration in einem expandierenden Molekülstrahl. Besteht zwischen den Teilsystemen ein thermischer Kontakt, d. h. die Möglichkeit eines Energieaustauschs in irgendeiner Form, dann strebt das Gesamtsystem durch Wärmeaustausch zwischen den Teilsystemen von selbst dem Zustand des thermischen Gleichgewichts zu.

In theoretischer Hinsicht wird die Temperatur als grundlegender Begriff durch die Eigenschaft eingeführt, dass zwei beliebige Systeme, die mit einem dritten System im thermischen Gleichgewicht stehen, dann auch untereinander im thermischen Gleichgewicht stehen. Diese Tatsache wird auch als Nullter Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet. Gleichheit der Temperaturen bedeutet thermisches Gleichgewicht, d. h., es findet, auch bei thermischem Kontakt, kein Wärmeaustausch statt. Dass eine einzige Zustandsgröße wie die Temperatur für die Entscheidung ausreicht, ob Gleichgewicht vorliegt oder nicht, kann aus dem nullten Hauptsatz hergeleitet werden.[2]

Die Summe aller Energien der ungeordneten Bewegungen der Teilchen eines Systems und ihrer internen potentiellen und kinetischen Energien stellt eine bestimmte Menge an Energie dar, die als Innere Energie des Systems bezeichnet wird. Die innere Energie kann mittels einer Wärmekraftmaschine zum Teil in eine geordnete Bewegung übergeführt werden und dann Arbeit leisten, wenn ein zweites System mit tieferer Temperatur zur Verfügung steht. Denn nur ein Teil der inneren Energie ist zur Umwandlung in Arbeit nutzbar, während der Rest als Abwärme an das zweite System abgegeben werden muss. Nach dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gibt es für diese Abwärme eine untere Schranke, die nur vom Verhältnis beider Temperaturen bestimmt ist, also durch keine Wahl der Stoffe oder der genutzten Prozesse unterschritten werden kann. Dies wurde 1848 von Lord Kelvin bemerkt und seit 1924 zur Definition der thermodynamischen Temperatur genutzt. Eine äquivalente Definition des Temperaturbegriffs ist dadurch gegeben, dass man die Zustandsgröße Entropie als Funktion der inneren Energie ausdrückt und hiervon die Ableitung bildet.

Fast alle physikalischen und chemischen Eigenschaften von Stoffen sind (zumindest schwach) von der Temperatur abhängig. Beispiele sind die thermische Ausdehnung von Stoffen, der elektrische Widerstand, die Löslichkeit von Stoffen in Lösungsmitteln, die Schallgeschwindigkeit oder Druck und Dichte von Gasen. Sprunghafte Veränderungen von Stoffeigenschaften treten hingegen auch bei kleinsten Veränderungen der Temperatur ein, wenn der Aggregatzustand sich ändert oder ein anderer Phasenübergang eintritt.

Die Temperatur beeinflusst auch die Reaktionsgeschwindigkeit von chemischen Prozessen, indem diese sich je 10 °C Temperaturerhöhung typischerweise etwa verdoppelt (van-’t-Hoff’sche Regel). Das gilt damit auch für die Stoffwechselprozesse von Lebewesen.

### Ideales Gas

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→ Hauptartikel: Ideales Gas

Das ideale Gas ist ein Modellgas, das sich gut dafür eignet, die Grundlagen der Thermodynamik und Eigenschaften der Temperatur zu entwickeln. Dem Modell zufolge sind die Teilchen des Gases punktförmig, können aber dennoch elastisch gegeneinander und gegen die Gefäßwand stoßen. Ansonsten gibt es keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Das ideale Gas gibt das Verhalten der einatomigen Edelgase sehr gut wieder, gilt aber auch in guter Näherung für die normale Luft, obwohl mehratomige Moleküle rotieren oder vibrieren können und daher nicht immer als punktförmige Objekte ohne innere Freiheitsgrade vereinfacht werden können.

Für das ideale Gas ist die Temperatur  T {\displaystyle T} proportional zur mittleren kinetischen Energie  E k i n ¯ {\displaystyle {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}} der Teilchen

E k i n ¯ = 3 2 k B T {\displaystyle {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}={\tfrac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T}

wobei  k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} die Boltzmann-Konstante ist. In diesem Fall ist also die makroskopische Größe Temperatur auf sehr einfache Weise mit mikroskopischen Teilcheneigenschaften verknüpft. Mit der Teilchenzahl  N {\displaystyle N} multipliziert, ergibt sich die Gesamtenergie des Gases. Außerdem gilt für das ideale Gas die thermische Zustandsgleichung, die die makroskopischen Größen Temperatur, Volumen V {\displaystyle V} und Druck p {\displaystyle p} verknüpft,

p V = N k B T {\displaystyle pV=Nk_{\mathrm {B} }T} .

Diese Gleichung wurde 2019 im Internationalen Einheitensystem zur Definitionsgleichung der Temperatur gemacht, weil sie mit der gleichzeitigen zahlenmäßigen Festlegung des Wertes der Boltzmann-Konstante außer T nur messbare Größen enthält. In der zugehörigen Messvorschrift ist berücksichtigt, dass diese Gleichung für ein reales Gas nur näherungsweise erfüllt ist, im Grenzfall  p -> 0 {\displaystyle p\rightarrow 0} aber exakt wird.

Da die Größen  E k i n ¯ , p , V {\displaystyle {\overline {E_{\mathrm {kin} }}},\ p,\ V} nicht negativ werden können, kann man an diesen Gleichungen sehen, dass es einen absoluten Temperaturnullpunkt  T = 0 K ( = − 273 , 15 ∘ C ) {\displaystyle T=0\,\mathrm {K} \ (=\;-273,15\,^{\circ }\mathrm {C} )} geben muss, bei dem sich die Gasteilchen nicht mehr bewegen würden, und Druck oder Volumen des Gases Null wären. Den absoluten Nullpunkt der Temperatur gibt es wirklich, obwohl diese Herleitung nicht stichhaltig ist, weil es keinen Stoff gibt, der bis  T = 0 K {\displaystyle T=0\,\mathrm {K} } gasförmig bliebe. Immerhin aber ist Helium unter Atmosphärendruck noch bei Temperaturen von wenigen K ein fast ideales Gas.

### Temperatur, Wärme und thermische Energie

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Manchmal werden die Größen Temperatur, Wärme und thermische Energie miteinander verwechselt. Es handelt sich jedoch um verschiedene Größen. Die Temperatur und die thermische Energie beschreiben den Zustand eines Systems, wobei die Temperatur eine intensive Größe ist, die thermische Energie (die verschiedene Bedeutungen haben kann) jedoch oftmals eine extensive Größe. Bei idealen Gasen ist die Temperatur ein direktes Maß für den Mittelwert der kinetischen Energie der Teilchen. Die thermische Energie in ihrer makroskopischen Bedeutung ist gleich der inneren Energie, also der die Summe aller kinetischen, potentiellen und Anregungs-Energien der Teilchen.

Wärme hingegen charakterisiert als physikalischer Begriff nicht einen einzelnen Systemzustand, sondern einen Prozess, der von einem Systemzustand zu einem anderen führt. Wärme ist die dabei erfolgte Änderung der inneren Energie abzüglich der eventuell geleisteten Arbeit (siehe Erster Hauptsatz der Thermodynamik). Geht man umgekehrt von einer bestimmten Menge abgegebener oder aufgenommener Wärme aus, dann kann der Prozess je nach der Prozessführung (z. B. isobar, isochor oder isotherm) zu unterschiedlichen Endzuständen mit unterschiedlichen Temperaturen führen.

### Temperaturausgleich

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Stehen zwei Systeme mit unterschiedlichen Temperaturen  T 1 , T 2 {\displaystyle T_{1},\;T_{2}} in einer Verbindung, die den Wärmeübertrag ermöglicht (thermischer Kontakt oder diabatische Verbindung), dann fließt Wärme vom heißeren zum kälteren System und beide Temperaturen nähern sich derselben Gleichgewichtstemperatur  T G {\displaystyle T_{G}} an. Wenn dabei keine Phasenübergänge oder chemische Reaktionen stattfinden, liegt  T G {\displaystyle T_{G}} zwischen den Anfangstemperaturen.  T G {\displaystyle T_{G}} ist dann ein gewichtetes Mittel aus  T 1 {\displaystyle T_{1}} und  T 2 {\displaystyle T_{2}} , wobei die Wärmekapazitäten C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},\;C_{2}} der beiden Systeme (sofern diese hinreichend konstant sind) als Gewichtsfaktoren wirken. Das gleiche Endergebnis tritt auch ein, wenn zwei Flüssigkeiten oder zwei Gase miteinander vermischt werden (Mischungstemperatur), z. B. heißes und kaltes Wasser. Treten Phasenübergänge auf, kann die Gleichgewichtstemperatur auch gleich einer der beiden Anfangstemperaturen sein, z. B. 0 °C beim Abkühlen eines warmen Getränks mit unnötig vielen Eiswürfeln von 0 °C. Bei chemischen Reaktionen kann die Endtemperatur auch außerhalb des Bereichs  [ T 1 , T 2 ] {\displaystyle [T_{1},\,T_{2}]} liegen, z. B. bei Kältemischungen darunter, bei Verbrennung darüber.

### Temperatur in der Relativitätstheorie

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→ Hauptartikel: Relativistische Thermodynamik

Ein thermodynamisches Gleichgewicht gilt zunächst im gemeinsamen Ruhesystem beider Körper. Im Sinne der speziellen Relativitätstheorie ist ein System im thermodynamischen Gleichgewicht daher außer durch die Temperatur auch durch ein Ruhesystem charakterisiert. Thermodynamische Gleichungen sind aber nicht invariant unter Lorentztransformationen. Eine konkrete Frage wäre z. B., welche Temperatur von einem bewegten Beobachter gemessen wird. Die Rotverschiebung der Wärmestrahlung etwa verschiebt die Frequenzen im Planckschen Strahlungsgesetz im Verhältnis  ≈ v / c {\displaystyle \approx v/c} und lässt damit einen strahlenden Körper kälter erscheinen, wenn man sich mit Geschwindigkeit  v {\displaystyle v} von ihm weg bewegt. Im Prinzip tritt das gleiche Problem auch schon auf, wenn heißes Wasser durch ein zunächst kaltes Rohr strömt.

Die Temperatur wird als zeitartiger Vierervektor dargestellt. Im Ruhesystem sind also die drei Ortskoordinaten  0 {\displaystyle 0} und die Zeitkoordinate ist die übliche Temperatur. Zu einem bewegten System muss man mittels der Lorentz-Transformation umrechnen. Es ist allerdings im Kontext der Zustandsgleichungen günstiger und daher auch üblicher, die inverse Temperatur, genauer  β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}} , als zeitartigen Vierervektor darzustellen.

Zur Begründung betrachte man den 1. Hauptsatz, für reversible Prozesse in der Form[Anm. 1]

d S = 1 T d U + 1 T P d V {\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {1}{T}}\mathrm {d} U+{\frac {1}{T}}P\,\mathrm {d} V} ,

und beachte, dass die Energie  E {\displaystyle E} eines bewegten Systems um die kinetische Energie größer ist als seine innere Energie  U {\displaystyle U} , bei  v / c ≪ 1 {\displaystyle v/c\ll 1} also näherungsweise

E = U + M v 2 2 {\displaystyle E=U+{\frac {Mv^{2}}{2}}}

wobei  v {\displaystyle v} die dreidimensionale Geschwindigkeit ist. Daher ist

d U = d E − v d v {\displaystyle \mathrm {d} U=\mathrm {d} E-v\,\mathrm {d} v} und
d S = 1 T d E − 1 T v d v + 1 T P d V {\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {1}{T}}\mathrm {d} E-{\frac {1}{T}}v\,\mathrm {d} v+{\frac {1}{T}}P\,\mathrm {d} V} ,

in 4-dimensionaler Schreibweise also gleich

d S = − θ μ d p μ + 1 T P d V {\displaystyle \mathrm {d} S=-\theta _{\mu }\mathrm {d} \mathbf {p} ^{\mu }+{\frac {1}{T}}P\,\mathrm {d} V} ,

wenn  p μ = ( E / c , p -> ) {\displaystyle \mathbf {p} _{\mu }=(E/c,{\vec {p}})} (mit dem räumlichen Impulsvektor  p -> {\displaystyle {\vec {p}}} ) der Viererimpuls und  θ μ = ( − c / T , v -> / T ) {\displaystyle \mathbf {\theta } _{\mu }=(-c/T,{\vec {v}}/T)} die inverse Vierertemperatur ist.

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit gekrümmt, so dass im Allgemeinen der thermodynamische Limes nicht wohldefiniert ist. Wenn die Metrik der Raumzeit zeitunabhängig, also statisch, ist, kann allerdings ein globaler Temperaturbegriff definiert werden. Im allgemeinen Fall einer zeitabhängigen Metrik, wie sie beispielsweise Grundlage der Beschreibung des expandierenden Universums ist, können Zustandsgrößen wie die Temperatur nur lokal definiert werden. Ein verbreitetes Kriterium dafür, dass ein System zumindest lokal thermisch ist, ist, dass die Phasenraumdichte die Boltzmann-Gleichung ohne Streuung erfüllt.

### Temperatur in der Quantenphysik

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Im Bereich der Quantenphysik kann man die Temperatur nur dann, wenn sie „genügend hoch“ ist, mit einer ungeordneten Teilchenbewegung beschreiben, in der alle möglichen Energieformen vorkommen. „Genügend hoch“ bedeutet dabei, dass die Energie  k B T {\displaystyle k_{\mathrm {B} }T} groß ist gegenüber den typischen Abständen der Energieniveaus der einzelnen Teilchen im gegebenen System. Beispielsweise ist bei zweiatomigen Gasen wie N2, O2 die Molekülrotation schon bei Raumtemperatur voll angeregt, doch muss die Temperatur weit über 1000 K sein, damit auch die Molekülschwingungen mit angeregt werden. Bei H2-Molekülen erfordert auch die Anregung der Rotation Temperaturen über einigen 100 K. Freiheitsgrade, die bei tieferen Temperaturen nicht an der Wärmebewegung teilnehmen, werden als eingefroren bezeichnet, siehe auch Freiheitsgrad#Thermodynamik und statistische Mechanik. Das drückt sich z. B. deutlich in der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme aus.

Die theoretische Behandlung der Thermodynamik erfolgt in der Quantenphysik ausschließlich mit den Methoden der Statistischen Physik (siehe Quantenstatistik, Vielteilchentheorie). Darin tritt die Temperatur genau wie in der klassischen statistischen Physik im Exponenten der Boltzmann-Verteilung auf und bestimmt damit die Form der Häufigkeitsverteilung, mit der die Teilchen die verschiedenen Energiezustände einnehmen.

## Temperaturempfinden und Wärmeübertragung

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Stehen zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in Wärmekontakt, so wird nach dem nullten Hauptsatz der Thermodynamik solange Energie vom wärmeren zum kälteren Körper übertragen, bis beide die gleiche Temperatur angenommen haben und damit im thermischen Gleichgewicht stehen. Dabei kann es zwischen den beiden Seiten der Grenzfläche zunächst Temperatursprünge geben. Es gibt drei Möglichkeiten der Wärmeübertragung:

* Wärmeleitung durch mechanische Berührung,
* Konvektion, das Mitführen thermischer Energie in einem strömenden Medium,
* Wärmestrahlung, also elektromagnetische Wellen.

Der Mensch kann mit der Haut nur Temperaturen im Bereich zwischen etwa 5 °C und 40 °C fühlen. Da die Thermorezeptoren in der Haut liegen, wird nicht die Temperatur eines berührten Gegenstands wahrgenommen, sondern die Temperatur am Ort der Rezeptoren, die je nach Stärke des Wärmestroms durch die Hautoberfläche variiert (gefühlte Temperatur). Dieses hat für das Temperaturempfinden einige Konsequenzen:

* Temperaturen oberhalb der Oberflächentemperatur der Haut fühlen sich warm an, solche unterhalb empfinden wir als kalt
* Materialien mit hoher Wärmeleitfähigkeit, wie Metalle, führen zu höheren Wärmeströmen und fühlen sich deshalb wärmer beziehungsweise kälter an als Materialien mit niedrigerer Wärmeleitfähigkeit, wie Holz oder Polystyrol
* Die gefühlte Lufttemperatur ist bei Wind niedriger als bei Windstille (bei extrem heißem Wetter umgekehrt). Der Effekt wird bei Temperaturen < 10 °C durch den Windchill und bei höheren Temperaturen durch den Hitzeindex beschrieben.
* Ein leicht beheizter, gefliester Fußboden kann mit den nackten Füßen als angenehm warm, mit den Händen berührt hingegen als kühl empfunden werden. Dies ist der Fall, wenn die Hauttemperatur an Händen höher ist als an den Füßen und die Temperatur des Fußbodens dazwischen liegt.
* Die Hautempfindung kann Lufttemperatur von überlagerter Wärmestrahlung nicht unterscheiden. Das Gleiche gilt im Allgemeinen für Thermometer; deshalb müssen z. B. Lufttemperaturen immer im Schatten gemessen werden
* Lauwarmes Wasser wird von den beiden Händen als unterschiedlich wahrgenommen, wenn man sie vorher eine Zeitlang in heißes bzw. kaltes Wasser gehalten hatte.

Auch in vielen technischen Zusammenhängen ist nicht die Temperatur entscheidend, sondern der Wärmestrom. Zum Beispiel hat die Atmosphäre der Erde in einem Bereich oberhalb 1000 km (Thermosphäre) Temperaturen von mehr als 1000 °C; im äußeren Sonnensystem, an der Randstoßwelle der Heliosphäre werden sogar Temperaturen von 105 K erreicht. Dennoch schmelzen oder verdampfen dort keine Satelliten oder Raumsonden, denn auf Grund der geringen Teilchendichte ist der Energieübertrag minimal.

## Definitionen der Temperatur

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Der Temperaturbegriff entwickelte sich erst spät, nicht nur weil eine klare konzeptuelle Trennung zwischen Temperatur als intensiver Messgröße und Wärme als extensiver Größe fehlte, sondern auch weil es bis in die Frühe Neuzeit hinein keine Instrumente gab, mit denen man die Temperatur verlässlich hätte messen können.[3][4]

Die formalen Eigenschaften der Temperatur werden in der makroskopischen klassischen Thermodynamik behandelt. Die Temperatur leitet sich von den beiden Zustandsgrößen Innere Energie U {\displaystyle U} und Entropie S {\displaystyle S} ab:

T = d U d S {\displaystyle T={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}}

Beim idealen Gas z. B. erfüllt die durch die Zustandsgleichung definierte Gastemperatur  T = p V N k B {\displaystyle T={\frac {pV}{Nk_{\mathrm {B} }}}} diese Bedingung.

Die statistische Interpretation der Entropie lautet nach Boltzmann:

S = k B ln ⁡ Ω {\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln \Omega }

und daher die der Temperatur:

T = 1 k B ( ∂ ln ⁡ Ω ∂ U ) − 1 {\displaystyle T={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }}}\left({\frac {\partial \ln {\Omega }}{\partial U}}\right)^{-1}}

Hierbei bedeuten:

* S {\displaystyle S} die Entropie
* U {\displaystyle U} die innere Energie
* Ω {\displaystyle \Omega } die geglättete, gemittelte Kurve über  ω {\displaystyle \omega } , das angibt auf wie viele Möglichkeiten sich die Energie U im System verteilen kann; zerlegt in kleinstmögliche Energiepakete (siehe Quant).
* k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} die Boltzmann-Konstante

Die gleiche physikalische Größe  T {\displaystyle T} ergibt sich, wenn die wahrscheinlichste Verteilung der Teilchen eines (klassischen) Systems über die verschiedenen möglichen Energien aller möglichen Zustände eines einzelnen Teilchens bestimmt wird. Die Zustände zu einer gegebenen Energie  E {\displaystyle E} sind mit einer Wahrscheinlichkeit W besetzt, die proportional zum Boltzmann-Faktor e − E k B T {\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}}} ist.

Aus dieser Boltzmann-Verteilung folgen u. a. die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten in einem Gas sowie der Gleichverteilungssatz der Energie über alle Freiheitsgrade der Teilchen.

### Negative Temperatur

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→ Hauptartikel: Negative Temperatur

Der Temperaturbegriff lässt sich erweitern, so dass sich auch negative Temperaturen definieren lassen.[5][6]

Ein System, das makroskopisch im thermischen Gleichgewicht erscheint, also eine einheitliche Temperatur hat, besteht mikroskopisch gesehen aus Teilchen, die nicht alle die gleiche Energie haben. Tatsächlich tauschen diese Teilchen durch Stöße ständig untereinander Energie aus, so dass sie auf Zustände mit unterschiedlichen Energien verteilt sind (Boltzmann-Statistik) und sich z. B. eine Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung einstellt. Wie eingangs bereits beschrieben, bemisst die Temperatur die über alle Teilchen gemittelte Energie. Diese Verteilung ist nicht gleichmäßig, sondern häuft sich (bei positiven Temperaturen) bei geringen Energien, während nur wenige Teilchen sehr viel Energie haben. Zu steigenden Energien hin zeigt sich eine exponentielle Abnahme der Häufigkeit. Erhöht man die Temperatur, so gleichen sich die unterschiedlichen Häufigkeiten immer mehr an, im hypothetischen Grenzfall der unendlichen Temperatur wären in jedem Energiezustand die gleiche Anzahl von Teilchen.

Die Erweiterung des Temperaturbegriffs geht nun davon aus, dass die Energieverteilung der Teilchen so geändert wird, dass die höheren Energieklassen stärker besetzt sein können als die niedrigen (Besetzungsumkehr, Inversion). Dies würde sich in der Gleichung der Boltzmann-Statistik formal als negative Temperatur ausdrücken.

Inzwischen ist es gelungen, entsprechende Gase mit negativer Temperatur unter Laborbedingungen herzustellen.[7][8] Ebenso kann man die Besetzungsinversion im aktiven Medium eines Lasers als Zustand negativer Temperatur auffassen.

Der Zustand negativer Temperatur ist allerdings instabil. Die Energie aus einem solchen System würde bei Kontakt mit einem Körper beliebiger positiver Temperatur an diesen abfließen. Insofern muss man also sagen, dass ein Körper mit negativer Temperatur heißer ist als jeder Körper mit positiver Temperatur.

## Messung

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### Messung durch thermischen Kontakt

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Temperaturmessung bei der Stahlschmelze

Die Temperaturmessung erfolgt hierbei mit Hilfe von Thermometern oder Temperatursensoren. Das Herstellen eines thermischen Kontaktes erfordert ausreichende Wärmeleitung, Konvektion oder ein Strahlungsgleichgewicht zwischen Messobjekt (Festkörper, Flüssigkeit, Gas) und Sensor. Die Messgenauigkeit kann z. B. durch nicht ausgeglichene Wärmestrahlungs-Bilanz, Luftbewegungen oder durch Wärmeableitung entlang des Sensors beeinträchtigt sein. Die Messgenauigkeit wird theoretisch durch die zufällige Brownsche Molekularbewegung begrenzt.

Die Temperaturerfassung durch Wärmekontakt kann in vier Methoden unterteilt werden:

1. mechanische Erfassung durch Ausnutzen der unterschiedlichen thermischen Ausdehnungskoeffizienten von Materialien mittels
* Gas- oder Flüssigkeitsthermometer (z. B. traditionelle Quecksilber\- oder Alkoholthermometer)
* Bimetallthermometer
2. Messen elektrischer Größen
* Nutzung des temperaturabhängigen elektrischen Widerstandes von Leitern und Halbleitern: Kaltleiter (PTC) und Heißleiter (NTC), siehe auch Widerstandsthermometer
* Thermoelemente liefern Spannungen, die von Temperaturdifferenzen abhängen.
* Spezielle Halbleiterschaltungen nutzen die Bandlücke, um eine zur absoluten Temperatur proportionale Spannung zu erzeugen, siehe Bandabstandsreferenz.
3. Zeit- bzw. Frequenzmessung
* Die temperaturabhängige Differenzfrequenz verschieden geschnittener Schwingquarze ist langzeitstabil und mit hoher Auflösung zu messen.
* Die temperaturabhängige Abklingrate der Fluoreszenz eines Leuchtstoffes kann über eine optische Faser gemessen werden.
* Die faseroptische Temperaturmessung nutzt den Raman-Effekt in Lichtwellenleitern zur ortsaufgelösten Messung der absoluten Temperatur über die gesamte Länge der Faser.
4. indirekte Messung über temperaturabhängige Zustandsänderungen von Materialien
* Seger-Kegel (Formkörper, die ihre Festigkeit und dadurch ihre Kontur bei einer bestimmten Temperatur ändern)
* Temperaturmessfarben (auch thermochromatische Farben; Farbumschlag bei einer bestimmten Temperatur)
* Beobachten des Erweichens, Schmelzens, Glühens oder der Anlauffarben

### Messung anhand der Wärmestrahlung

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Thermografisches Bild eines heißen Kaffeebechers (Falschfarbendarstellung)

Die Temperatur einer Oberfläche kann berührungslos durch Messung der Wärmestrahlung bestimmt werden, sofern der Emissionsgrad und die Reflexion der Umgebungsstrahlung ausreichend genau bekannt sind. Die Messung erfolgt z. B. mit einem Pyrometer oder mit einer Thermografie-Kamera.

Je nach Temperatur kommen dabei verschiedene Wellenlängenbereiche in Frage (siehe hierzu Stefan-Boltzmann-Gesetz oder Wiensches Verschiebungsgesetz). Bei niedrigen Temperaturen kommen Bolometer, Mikrobolometer oder gekühlte Halbleiterdetektoren in Frage, bei hohen Temperaturen werden ungekühlte Fotodioden oder auch der visuelle Vergleich der Intensität und Farbe des Glühens angewendet (Wolframfaden-Pyrometer, Glühfarben).

In der Abbildung ist eine Thermografie zu sehen; hierbei wird eine Falschfarbendarstellung der Strahlungsemission im Mittleren Infrarot (ca. 5…10 μm Wellenlänge) erzeugt, die sich durch Kalibrierung in Form einer Farbskala an die Temperaturskala koppeln lässt. Links im Bild ist die Spiegelung der Strahlung des heißen Bechers zu erkennen.

Messfehler entstehen hierbei wie auch bei Pyrometern durch

* unterschiedliche bzw. unbekannte Emissionsgrade der Messobjekte
* Reflexionen von Fremdstrahlung an glatten Oberflächen
* Eigenstrahlung der Luft zwischen Objekt und Sensor

Bei Minimierung aller störenden Einflüsse sind Messgenauigkeiten bzw. Kontraste bis herab zu Temperaturdifferenzen von 0,01 K möglich.

Die berührungslose Temperaturmessung anhand der Wärmestrahlung wird auch bei der Fernerkundung und zur Bestimmung der Oberflächentemperatur von Sternen angewendet, sofern die Eigenstrahlung der Lufthülle gering genug ist. IR-Teleskope sind deshalb nur auf hohen Bergen sinnvoll.

Siehe hierzu auch Messgeräte, Messtechnik, Messung und Kategorie Temperaturmessung

## Temperaturskalen und ihre Einheiten

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### Empirische Skalen

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Eine empirische Temperaturskala ist eine willkürliche Festlegung der Größenordnung der Temperatur und gestattet die Angabe der Temperatur in Bezug zu einem Vergleichswert.

Es gibt zwei Methoden, eine Skala zu definieren:

Nach der ersten Methode werden zwei Fixpunkte festgelegt. Diese Fixpunkte sind zweckmäßigerweise in der Natur vorkommende und durch Experimente reproduzierbare Werte. Der Abstand zwischen den Fixpunkten wird dann anhand einer temperaturabhängigen Stoff- oder Prozesseigenschaft gleichmäßig aufgeteilt. Eine Stoffeigenschaft ist z. B. der Schmelzpunkt von gefrorenem Wasser. Ein Beispiel für eine Prozesseigenschaft ist die Winkeländerung des Zeigers bei einem Bimetallthermometer.

Anders Celsius wählte zum Beispiel für seine Skala den Siedepunkt und den Schmelzpunkt von Wasser bei Normaldruck als Fixpunkte und teilte die Volumenänderung von Quecksilber zwischen diesen Punkten in 100 gleiche Teile auf (bei 0 siedete Wasser und bei 100 schmolz es; nach Anders’ Tod wurde die Skala invertiert). Daniel Fahrenheit wählte dagegen als Fixpunkte die Temperatur einer Kältemischung und die Körpertemperatur des Menschen. Dies sind beides Skalen basierend auf Stoffeigenschaften.

René-Antoine Ferchault de Réaumurs Thermometer basierte auf der Ausdehnung von Alkohol (Ethanol). Siehe auch Réaumur-Skala.

Bei der Methode nach der Prozesseigenschaft genügt ein Fixpunkt, der wie zuvor durch eine Stoffeigenschaft definiert wird, und zusätzlich eine temperaturabhängige Stoffeigenschaft. Man könnte z. B. eine bestimmte relative Volumenänderung von Quecksilber als „ein Grad“ definieren und dann, ausgehend vom Fixpunkt, Skalenstrich für Skalenstrich anzeichnen.

Eine Idee für eine Skala nach der zweiten Methode stammt von Rudolf Plank. Sie orientiert sich an der Volumenänderung von Gasen bei konstantem Druck. Als Fixpunkt dient wieder der Schmelzpunkt von Wasser. Die Einheit ist der Temperaturunterschied, der einer Volumenänderung um den Faktor (1 + 1/273,15) entspricht. Eine solche logarithmische Temperaturskala erstreckt sich von minus Unendlich bis plus Unendlich. Es ist kein absoluter Nullpunkt erforderlich, der ja definitionsgemäß gar nicht erreicht werden kann.

Die bekanntesten Temperaturskalen mit ihren verschiedenen Charakteristika sind weiter unten tabellarisch dargestellt. Die heute gültige Temperaturskala ist die „International Temperature Scale of 1990“ (ITS-90). Die Festlegung der Einheiten über bestimmte spezifische Messpunkte ist im Mai 2019 aufgehoben worden, siehe Tabelle.

### Skalen mit SI-Einheit

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#### Thermodynamische Temperatur

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Seit 1924 gilt die Thermodynamische Definition der Temperatur mithilfe des 2\. Hauptsatzes, die das Verhältnis zweier Temperaturen aus dem Verhältnis zweier Energien bestimmt. Die Existenz einer solchen absoluten und substanzunabhängigen Temperaturskala folgt aus dem Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses. Denn für den Wirkungsgrad  η {\displaystyle \eta } jeder Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei Wärmereservoirs mit den Temperaturen  T k {\displaystyle T_{k}} und  T w {\displaystyle T_{w}} periodisch und reversibel arbeitet, gilt:

η = 1 − T k T w {\displaystyle \eta =1-{\frac {T_{k}}{T_{w}}}}

Der Nullpunkt der Skala liegt beim absoluten Nullpunkt. Die Temperatureinheit Kelvin wurde zunächst über einen zweiten Skalenpunkt festgelegt, indem für die Temperatur eines wohldefinierten Zustands von Wasser (Tripelpunkt) ein Zahlenwert (273,16) gewählt wurde. Seit Mai 2019 ist die Temperatureinheit, jetzt wieder mit Rückgriff auf die Zustandsgleichung des idealen Gases, durch die zahlenmäßige Festlegung der Boltzmann-Konstante an die Energieeinheit Joule angeschlossen: 1 K ist diejenige Temperaturänderung, die die Energie  k B T {\displaystyle k_{\mathrm {B} }\,T} um 1.380649e-23 J erhöht.[9]

Danach hat der Tripelpunkt von Wasser keine definierende Bedeutung mehr, sondern ist ein zu bestimmender Messwert.

#### Celsius-Temperatur

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Da die Celsius-Skala im Alltag sehr verbreitet ist, wurde im Internationalen Einheitensystem (SI) zusätzlich die Größe Celsius-Temperatur (Formelzeichen  t {\displaystyle t} oder auch  ϑ {\displaystyle \vartheta } ) mit der abgeleiteten SI-Einheit Grad Celsius (°C) definiert. Nach ihrer modernen Definition gibt sie nicht mehr die empirische Temperatur der historischen Celsius-Skala an, sondern ist die thermodynamische Temperatur der Kelvin-Skala, verschoben um 273,15 K:

t ∘ C = T K − 273 , 15 {\displaystyle {\frac {t}{^{\circ }\mathrm {C} }}={\frac {T}{\mathrm {K} }}-273{,}15} .

Für Temperaturdifferenzen ist das Grad Celsius also identisch mit dem Kelvin. Temperaturdifferenzen sollen generell in K angegeben werden, wobei die Differenz zweier Celsius-Temperaturen auch in °C angegeben werden kann.[10][11] Der Zahlenwert ist in beiden Fällen derselbe.

### Skalen ohne SI-Einheit

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In den USA ist die Fahrenheit-Skala mit der Einheit Grad Fahrenheit (Einheitenzeichen: °F) immer noch sehr gebräuchlich. Die absolute Temperatur auf Fahrenheit-Basis wird mit Grad Rankine (Einheitenzeichen: °Ra) bezeichnet. Die Rankine-Skala hat den Nullpunkt wie die Kelvin-Skala beim absoluten Temperaturnullpunkt, im Gegensatz zu dieser jedoch die Skalenabstände der Fahrenheit-Skala. Beide Skalen werden heute über eine per Definition exakte Umrechnungsformel zum Kelvin definiert.[12]

### Überblick über historische und moderne Temperaturskalen

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Übersicht über die klassischen Temperaturskalen  Einheit | Einheiten­zeichen | unterer Fixpunkt F1 | oberer Fixpunkt F2 | Wert der Einheit  | Erfinder  | Jahr der Ent­ste­hung  | Verbrei­tungs­gebiet

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Kelvin | K  | Absoluter Nullpunkt,
T0 = 0 K  | ohne Fixpunkt  |  1 K = 1,380 649 ⋅ 10 − 23 J k B {\displaystyle 1\,\mathrm {K} =1{,}380\,649\cdot 10^{-23}{\frac {\mathrm {J} }{k_{\mathrm {B} }}}} |  | 2019 | weltweit
(SI-Einheit)
TTri(H2O) = 273,16 K[Anm 1] |  F 2 − F 1 273 , 16 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{273{,}16}}} |  | 1948
1 K = d e f 1 ∘ C {\displaystyle 1\,\mathrm {K} \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\,^{\circ }\mathrm {C} } | William Thomson Baron Kelvin | 1848
Grad Celsius | °C  | 0 °C = 273,15 K  | Kopplung an Kelvin  |  1 ∘ C = d e f 1 K {\displaystyle 1\,^{\circ }\mathrm {C} \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\,\mathrm {K} } |  | 1948  | weltweit (abgelei­tete SI-Einheit)
TSchm(H2O) = 0 °C  | TSied(H2O) = 100 °C  |  F 2 − F 1 100 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{100}}} | Anders Celsius | 1742
Grad Fahrenheit | °F  | 32 °F = 273,15 K  | Kopplung an Kelvin  |  1 , 80 ∘ F = d e f 1 K {\displaystyle 1{,}80\,^{\circ }\mathrm {F} \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\,\mathrm {K} } |  | 1948  | USA
TSchm(H2O) = 32 °F  | TSied(H2O) = 212 °F  |  F 2 − F 1 180 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{180}}} |  | 1893
TKältem. = 0 °F,
| TMensch = 96 °F,[Anm 2] |  F 2 − F 1 96 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{96}}} | Daniel Fahrenheit | 1714
Grad Rankine | °Ra, °R  | T0 = 0 °Ra  | Jetzt Kopplung an Kelvin  |  1 ∘ R a = d e f 1 ∘ F {\displaystyle 1\,^{\circ }\mathrm {Ra} \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\,^{\circ }\mathrm {F} } | William Rankine | 1859  | USA
Grad Delisle | °De, °D  | TSchm(H2O) = 150 °De  | TSied(H2O) = 0 °De  |  F 1 − F 2 150 {\displaystyle {\frac {F_{1}-F_{2}}{150}}} | Joseph-Nicolas Delisle | 1732  | Russland (19. Jhd.)
Grad Réaumur | °Ré, °Re, °R  | TSchm(H2O) = 0 °Ré  | TSied(H2O) = 80 °Ré  |  F 2 − F 1 80 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{80}}} | René-Antoine Ferchault de Réaumur | 1730  | Westeuropa bis Ende 19. Jhd.
Grad Newton | °N  | TSchm(H2O) = 0 °N  | TSied(H2O) = 33 °N  |  F 2 − F 1 33 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{33}}} | Isaac Newton | ≈ 1700  | keines
Grad Rømer | °Rø  | TSchm(Lake) = 0 °Rø[Anm 3] | TSied(H2O) = 60 °Rø  |  F 2 − F 1 60 {\displaystyle {\frac {F_{2}-F_{1}}{60}}} | Ole Rømer | 1701  | keines
Anmerkungen zur Tabelle:

1. ↑ TTri(H2O) liegt seit der Neudefinition im Mai 2019 bei 273,16 K mit einer relativen Unsicherheit von 3,7·10−7 laut Le Système international d’unités. 9e édition, 2019 (die sogenannte „SI-Broschüre“, französisch und englisch), S. 21 und 133.
2. ↑ Ursprünglich genutzt wurde die Temperatur einer Kältemischung von Eis, Wasser und Salmiak oder Seesalz (−17,8 °C) und die vermeintliche „Körpertemperatur eines gesunden Menschen“ (35,6 °C)
3. ↑ Genutzt wurde die Schmelztemperatur einer Salzlake (−14,3 °C).

Fixpunkte gebräuchlicher Temperaturskalen  | Kelvin | °Celsius | °Fahrenheit | °Rankine

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Siedepunkt des Wassers bei Normaldruck |  373,150 K  | 100,000 °C  | 212,000 °F  | 671,670 °Ra
„Körpertemperatur des Menschen“ nach Fahrenheit  | 308,705 K  | 35,555 °C  | 96,000 °F  | 555,670 °Ra
Tripelpunkt des Wassers  | 273,160 K  | 0,010 °C  | 32,018 °F  | 491,688 °Ra
Gefrierpunkt des Wassers bei Normaldruck | 273,150 K  | 0,000 °C  | 32,000 °F  | 491,670 °Ra
Kältemischung aus Wasser, Eis und NH4Cl | 255,372 K  | −17,777 °C  | 0,000 °F  | 459,670 °Ra
absoluter Nullpunkt | 0 K  | −273,150 °C  | −459,670 °F  | 0 °Ra

Die Fixpunkte, mit denen die Skalen ursprünglich definiert wurden, sind farblich hervorgehoben und exakt in die anderen Skalen umgerechnet. Heute haben sie ihre Rolle als Fixpunkte verloren und gelten nur noch näherungsweise. Allein der absolute Nullpunkt hat weiterhin exakt die angegebenen Werte. Temperaturbeispiele siehe Größenordnung (Temperatur).

## Logarithmische Skala

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John Dalton erwog gegen 1800 eine Temperaturdefinition, die beim idealen Gas eine exponentielle Temperaturabhängigkeit des Volumens (bei konstantem Druck) bedeutet hätte. Dies würde unterhalb eines beliebig gewählten Bezugspunkts negative Temperaturwerte bis  − ∞ {\displaystyle -\infty } ergeben und dem Logarithmus der absoluten Temperatur entsprechen.[13]

Kelvin diskutierte 1848 eine logarithmische Skala.[14]

Rudolf Plank griff Kelvins Idee um 1950 im „Handbuch der Kältetechnik“ auf und empfahl eine logarithmische Temperaturskala. Sein Motiv war, mit der nach unten unbeschränkten logarithmischen Skala den zunehmenden apparativen Aufwand beim Annähern an den absoluten Nullpunkt anschaulich zu machen:

> „[…] Wenn man jetzt das Magnetfeld plötzlich entfernt, so tritt der thermomagnetische Abkühlungseffekt ein. Auf diese Weise wurde mit Kaliumchromalaun eine Temperatur von 0,05 K erzielt. Im Jahre 1935 ist man sogar bereits zu 0,005 K vorgedrungen.[…] Um den erreichten Fortschritt richtig zu beurteilen, müßte man eigentlich die logarithmische Temperaturskala, wie sie von Lord Kelvin vorgeschlagen worden ist, anwenden. Demnach würde eine Senkung von 100 K auf 10 K dieselbe Bedeutung zukommen, wie […] von 1 K auf 0,1 K.“[15]

## Siehe auch

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* Liste von Größenordnungen der Temperatur

## Weblinks

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Commons: Temperatur – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Temperatur – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

* Information rund um die Temperatur
* The International Temperature Scale of 1990 (englisch)

## Anmerkungen

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1. ↑ Der Druck wird hier mit dem Symbol P bezeichnet, um Verwechslung mit dem Impuls zu vermeiden.

## Einzelnachweise

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1. ↑ C. Deppner et. al: Collective-Mode Enhanced Matter-Wave Optics. In: Phys. Rev. Lett. 127, 100401, 20. August 2021. (journals.aps.org)
2. ↑ Max Born: Kritische Bemerkungen zur traditionellen Darstellung der Thermodynamik. In: Physikalische Zeitschrift. Band 22, 1921, S. 218-224.
3. ↑ Kirstine Bjerrum Meyer: Die Entwickelung des Temperaturbegriffs im Laufe der Zeiten sowie dessen Zusammenhang mit den wechselnden Vorstellungen über die Natur der Wärme. Vieweg, Braunschweig 1913.
4. ↑ W. E. Knowles Middleton: A History of the Thermometer and Its Uses in Meteorology. Johns Hopkins University Press, Baltimore 1966, ISBN 0-8018-7153-0.
5. ↑ F. Bošnjaković, K. F. Knoche: Technische Thermodynamik. 8\. Auflage. Steinkopf-Verlag, Darmstadt 1998, ISBN 3-642-63818-X; Abschnitt 9.9 Erweiterung des Temperaturbegriffs.
6. ↑ Klaus Goeke: Statistik und Thermodynamik. 1\. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag / Springer Fachmedien, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0942-1; Abschnitt 2.6.9 Positive und negative Temperaturen.
7. ↑ S. Braun, J. P. Ronzheimer, M. Schreiber, S. S. Hodgman, T. Rom, I. Bloch, U. Schneider: Negative Absolute Temperature for Motional Degrees of Freedom. In: Science. Band 339, Nr. 6115, 4. Januar 2013, ISSN 0036-8075, S. 52–55, doi:10.1126/science.1227831.
8. ↑ Kälter als kalt und heißer als unendlich heiß. In: Spektrum der Wissenschaft. 3/2013, ISSN 0170-2971 Olliver Morsch über die Ergebnisse von Bloch/Schneider vom Max-Planck Institut für Quantenoptik in Garching und der Ludwig-Maximilians-Universität München.
9. ↑ Le système international d'unités. 9e édition, 2019 (die sogenannte „SI-Broschüre“, französisch und englisch), S. 21 und 133 (bipm.org PDF).
10. ↑ DIN 1301-1:2010 Einheiten – Einheitennamen, Einheitenzeichen
11. ↑ DIN 1345:1993 Thermodynamik – Grundbegriffe.
12. ↑ NIST, SI Units – Temperature, Fassung vom 5. Juni 2019.
13. ↑ Friedrich Hund: Geschichte der physikalischen Begriffe. Band 1. (= BI Hochschultaschenbücher. Band 543). 1978, ISBN 3-411-05543-X, S. 205.
14. ↑ Ingo Müller: A History of Thermodynamics: The Doctrine of Energy and Entropy. Springer Science & Business Media, 2007, ISBN 978-3-540-46227-9, S. 58.
15. ↑ H. Greinacker: Physik in Streifzügen. Verlag von Julius Springer, Berlin 1939, S. 80.

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