Zimmer-Vermutung

Die Zimmer-Vermutung ist eine 1983 von Robert Zimmer aufgestellte Vermutung aus der Mathematik. Sie kann als „nichtlineare“ Version des Superstarrheitssatzes von Margulis angesehen werden.

Sei  Γ {\displaystyle \Gamma } ein Gitter in einer Lie-Gruppe vom Rang  r ≥ 2 {\displaystyle r\geq 2} . Margulis‘ Superstarrheitssatz besagt, dass lineare Darstellungen von  Γ {\displaystyle \Gamma } entweder Einschränkungen von Darstellungen von  G {\displaystyle G} sind oder endliches Bild haben. Die Zimmer-Vermutung ist eine analoge Vermutung für Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten. Sie besagt, dass eine Wirkung von  Γ {\displaystyle \Gamma } auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension höchstens  r − 1 {\displaystyle r-1} über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren muss. Insbesondere besagt sie für Gitter in der speziellen linearen Gruppe S L ( n , R ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )} , dass Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten der Dimension höchstens  n − 2 {\displaystyle n-2} über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren.

Für  n = 3 {\displaystyle n=3} , also Wirkungen von Gittern  Γ ⊂ S L ( 3 , R ) {\displaystyle \Gamma \subset SL(3,\mathbb {R} )} auf dem Kreis, ist aus Arbeiten von Witte, Ghys und Burger-Monod bekannt, dass solche Wirkungen einen globalen Fixpunkt haben.

Für kokompakte Gitter in  S L ( n , R ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )} und auch für  S L ( n , Z ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )} haben Brown-Fisher-Hurtado die Zimmer-Vermutung für  C 2 {\displaystyle C^{2}} -Wirkungen bewiesen.

## Weblinks

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* D. Fisher: Recent progress in the Zimmer program