Binomio

Para binomio del lenguaje, véase Binomio lingüístico.

Para otros usos de este término, véase binomial (desambiguación).

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

## Ejemplos

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1. a + b {\displaystyle a+b} .
2. a 2 b 5 c 2 z − b 3 c 9 d 2 {\displaystyle a^{2}b^{5}c^{2}z-b^{3}c^{9}d^{2}} .
3. 3 tan 2 ⁡ ϕ − b 2 e i π θ {\displaystyle 3\tan ^{2}\phi \,-\,{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}} : es una diferencia de expresiones trigonométricas.

## Binomios notables

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1. x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} . Suma de cuadrados.
2. x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} . Diferencia de cuadrados.
3. x 3 + y 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}} . Suma de cubos.
4. x 3 − y 3 {\displaystyle x^{3}-y^{3}} . Diferencia de cubos.
5. x n + y n {\displaystyle x^{n}+y^{n}} . Suma de n-esimas potencias.[1]​
6. x n − y n {\displaystyle x^{n}-y^{n}} . Diferencia de n-ésimas potencias.[2]​

## Operaciones con binomios

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### Factor incorrecto

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El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

> c ( a + b ) = c a + c b {\displaystyle c(a+b)=ca+cb}

o realizando la operación:

> a + b × c c a + c b {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\\\times &&c\\\\\hline &ca&+cb\end{array}}}

Representación gráfica de la regla de factor común

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

3 x ( 4 x − 6 y ) = ( 3 x ) ( 4 x ) + ( 3 x ) ( − 6 y ) = 12 x 2 − 18 x y {\displaystyle 3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy}

O también:

4 x − 6 y × 3 x 12 x 2 − 18 x y {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\\\times &&3x\\\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}}

### Suma por diferencia

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El binomio  a 2 − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}} puede factorizarse como el producto de dos binomios:

a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)} .

Demostración:

a + b × a − b − a b − b 2 a 2 + a b a 2 − b 2 {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\\\times &a&-b\\\\\hline &-ab&-b^{2}\\\a^{2}&+ab&\\\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}} b²+a²

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula:  a n + 1 − b n + 1 = ( a − b ) ∑ k = 0 n a k b n − k {\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}} .

### Producto de dos binomios lineales

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El producto de un par de binomios lineales  ( a x + b ) {\displaystyle (ax+b)} ( c x + d ) {\displaystyle (cx+d)} es:

( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + a x d + b c x + b d = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d {\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}

a x + b × c x + d a d x + b d a c x 2 + b c x a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&ax&+b\\\\\times &cx&+d\\\\\hline &adx&+bd\\\acx^{2}&+bcx&\\\\\hline acx^{2}&+(ad+bc)x&+bd\end{array}}}

### Potencia de un binomio

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Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe: ( a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}} , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto:  ( p + q ) 2 {\displaystyle (p+q)^{2}}

### Cuadrado de un binomio

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Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

> ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}} .

La operación se efectúa del siguiente modo:

> a + b × a + b + a b + b 2 a 2 + a b a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\\\times &a&+b\\\\\hline &+ab&+b^{2}\\\a^{2}&+ab&\\\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}}

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma  a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}} , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

> ( a − b ) 2 = ( a − b ) ( a − b ) = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}}

La operación se efectúa del siguiente modo:

> a − b × a − b − a b + b 2 a 2 − a b a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&-b\\\\\times &a&-b\\\\\hline &-ab&+b^{2}\\\a^{2}&-ab&\\\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}}

Ejemplo:

( 2 x − 3 y ) 2 = ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( − 3 y ) + ( − 3 y ) 2 = 4 x 2 − 12 x y + 9 y 2 {\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}}

## Aplicación en el cálculo diferencial

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Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , se desarrolla el binomio  ( x + h ) 2 = x 2 + 2 x h + h 2 {\displaystyle {(x+h)}^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}} . El coeficiente del término en  h {\displaystyle h} que es  2 x {\displaystyle 2x} es la derivada de  x 2 {\displaystyle x^{2}} . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de  h {\displaystyle h} , el término lineal es  2 x h {\displaystyle 2xh} .

Igualmente, para  y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}} se desarrolla  ( x + h ) 3 {\displaystyle (x+h)^{3}} . En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de  h {\displaystyle h} es  3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} , que es la derivada de  x 3 {\displaystyle x^{3}} .

## Véase también

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* Teorema del binomio
* Monomio
* Trinomio
* Polinomio
* Factorización
* Productos notables
* Completar el cuadrado

## Notas y referencias

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1. ↑ Factorizable sólo para n que sea número entero impar
2. ↑ Factorizable para cualquier n, número entero positivo

## Bibliografía

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* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Binomial&oldid=13725», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
* Weisstein, Eric W. «Binomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
* Wentworth, George; Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co, ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. p. 456.
* Archivo gratuito para construir tridimensionalmente el cubo del binomio https://www.thingiverse.com/thing:2797705 Archivado el 19 de febrero de 2018 en Wayback Machine.

## Enlaces externos

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* Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre binomio.

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