Breather

En el campo de la física, un breather (habitualmente sin traducción) es una solución a un determinado sistema no lineal (bien a un sistema con muchos grados de libertad, o bien a un sistema continuo), consistente en una onda que concentra su energía de manera localizada y oscilatoria, en contraposición a la ergodicidad esperada. Los breathers aparecen como soluciones en ecuaciones de medios continuos o en redes discretas no lineales. Ejemplos del primer caso son la ecuación de sine-Gordon[1]​ y la ecuación no lineal de Schrödinger.[2]​ Una condición necesaria para la existencia en el segundo caso (redes discretas no lineales), es que la frecuencia principal del breather y sus armónicos se encuentren fuera del espectro de frecuencias de los fonones de la red, esto es, las frecuencias del breather y de la red deben ser inconmensurables.[3]​[4]​ Los breathers en redes no lineales han sido hallados experimentalmente mediante diferentes arreglos, por ejemplo en redes de  uniones Josephson.[5]​

Los breathers pueden ser estáticos (también llamados oscilones) o móviles. Un breather móvil puede moverse a lo largo de la red, o del medio continuo en su caso, constituyendo un mecanismo para la transferencia de energía.

## El breather como solución a la ecuación de sine-Gordon

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La ecuación de sine-Gordon es la ecuación en derivadas parciales:

∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ x 2 + sin ⁡ u = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\sin u=0,}

donde u es una función de x y t:  u = u ( x , t ) {\displaystyle u=u(x,t)}

Utilizando el método de la transformada espectral inversa (IST) se alcanza la solución:

u = 4 arctan ⁡ ( 1 − ω 2 cos ⁡ ( ω t ) ω cosh ⁡ ( 1 − ω 2 x ) ) , {\displaystyle u=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right),}

que para ω < 1 corresponde a un breather.[1]​

## El breather como solución a la ecuación no lineal de Schrödinger

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En paralelismo a la ecuación de Schrödinger en una dimensión:

i ∂ u ∂ t + ∂ 2 u ∂ x 2 − V u = 0 , {\displaystyle i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu=0,}

La ecuación no lineal de Schrödinger es la ecuación en derivadas parciales:

i ∂ u ∂ t + ∂ 2 u ∂ x 2 + | u | 2 u = 0 , {\displaystyle i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+|u|^{2}u=0,}

donde u es una función de x y t:  u = u ( x , t ) {\displaystyle u=u(x,t)}

Por ejemplo, la solución:

u = ( 2 b 2 cosh ⁡ ( θ ) + 2 i b 2 − b 2 sinh ⁡ ( θ ) 2 cosh ⁡ ( θ ) − 2 2 − b 2 cos ⁡ ( a b x ) − 1 ) a exp ⁡ ( i a 2 t ) donde θ = a 2 b 2 − b 2 t , {\displaystyle u=\left({\frac {2\,b^{2}\cosh(\theta )+2\,i\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;\sinh(\theta )}{2\,\cosh(\theta )-{\sqrt {2}}\,{\sqrt {2-b^{2}}}\cos(a\,b\,x)}}-1\right)\;a\;\exp(i\,a^{2}\,t)\quad {\text{donde}}\quad \theta =a^{2}\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;t,}

para  b < 2 {\displaystyle b<{\sqrt {2}}} , corresponde a breathers periódicos en x.[2]​ Este resultado es generalizable a más dimensiones.[6]​

## Véase también

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* Solitón

## Referencias

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1. ↑ a b M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur (1973). «Method for solving the sine-Gordon equation». Physical Review Letters 30 (25): 1262-1264. Bibcode:1973PhRvL..30.1262A. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1262.
2. ↑ a b N. N. Akhmediev, V. M. Eleonskiǐ, N. E. Kulagin (1987). «First-order exact solutions of the nonlinear Schrödinger equation». Theoretical and Mathematical Physics 72 (2): 809-818. Bibcode:1987TMP....72..809A. doi:10.1007/BF01017105. Traducido de Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika 72(2): 183–196, August, 1987.
3. ↑ R. S. MacKay, S. Aubry (1994). Nonlinearity 7: 1623.
4. ↑ J.-A. Sepulchre, R. S. MacKay (1997). Nonlinearity 10: 679.
5. ↑ E. Trías, J. J. Mazo, T. P. Orlando (2000). «Discrete Breathers in Nonlinear Lattices: Experimental Detection in a Josephson Array». Physical Review Letters 84 (4): 741-744. doi:10.1103/PhysRevLett.84.741.
6. ↑ P.G. Kevrekidis, K. Ø. Rasmussen, A. R. Bishop (2000). «Two-dimensional discrete breathers: Construction, stability, and bifurcations». Physical Review E 61 (2): 2006-2009. doi:10.1103/PhysRevE.61.2006.

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