Notación de Van der Waerden

En física teórica, la notación de Van der Waerden[1]​[2]​ se refiere al uso de espinores de dos componentes (según la ecuación de Weyl) en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Es un procedimiento estándar en la teoría de twistores y de la supersimetría. Lleva el nombre del matemático neerlandés Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996).

## Índices con punto

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Índices sin punto (índices quirales)

Los espinores con índices sin punto más bajos tienen quiralidad a izquierdas y se denominan índices quirales.

Σ l e f t = ( ψ α 0 ) {\displaystyle \Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\\0\end{pmatrix}}}

Índices con punto (índices antiquirales)

Los espinores con índices de puntos elevados, más una barra superior en el símbolo (no en el índice), son a derechas y se denominan índices antiquirales.

Σ r i g h t = ( 0 χ ¯ α ˙ ) {\displaystyle \Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\\\end{pmatrix}}}

Sin los índices, es decir. usando una "notación libre de índice", se conserva una barra superior en el espinor a derechas, ya que surge ambigüedad entre la quiralidad cuando no se indica ningún índice.

## Índices con guion superior

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Los índices con un guion superior se denominan índices de Dirac y son el conjunto de índices con punto y sin punto, o quirales y antiquirales. Por ejemplo, si

α = 1 , 2 , α ˙ = 1 ˙ , 2 ˙ {\displaystyle \alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}}

entonces un espinor en la base quiral se representa como

Σ α ^ = ( ψ α χ ¯ α ˙ ) {\displaystyle \Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\\\end{pmatrix}}}

donde

α ^ = ( α , α ˙ ) = 1 , 2 , 1 ˙ , 2 ˙ {\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}}

En esta notación, el adjunto de Dirac (también llamado conjugado de Dirac) es

Σ α ^ = ( χ α ψ ¯ α ˙ ) {\displaystyle \Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}

## Véase también

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* Ecuación de Dirac
* Símbolos de Infeld-Van der Waerden
* Transformación de Lorentz
* Ecuación de Schrödinger-Pauli
* Cálculo de Ricci

## Referencias

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1. ↑ Van der Waerden B.L. (1929). «Spinoranalyse». Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. ohne Angabe: 100-109.
2. ↑ Veblen O. (1933). «Geometry of two-component Spinors». Proc. Natl. Acad. Sci. USA 19 (4): 462-474. Bibcode:1933PNAS...19..462V. PMC 1086023. PMID 16577541. doi:10.1073/pnas.19.4.462.

## Bibliografía

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* Spinors en física
* P. Labelle (2010), Supersymmetry, Demystified series, McGraw-Hill (USA), ISBN 978-0-07-163641-4 .
* Hurley, D.J.; Vandyck, M.A. (2000), Geometry, Spinors and Applications, Springer, ISBN 1-85233-223-9 .
* Penrose, R.; Rindler, W. (1984), Spinors and Space–Time 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-24527-3 .
* Budinich, P.; Trautman, A. (1988), The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3 .

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