Operad

Injerto de elementos en una operada (matemáticas)

En matemáticas, se llama operad a una estructura construida a partir de operaciones abstractas, cada una de las cuales tiene un número finito de entradas (argumentos) y una sola salida como resultado, así como unas reglas sobre como se deben componer esas operaciones. Dado un operad  O {\displaystyle O} , se define un álgebra sobre  O {\displaystyle O} como un conjunto dotado de operaciones en sus elementos de forma que se comportan como las operaciones abstractas de  O {\displaystyle O} . Por ejemplo, existe el llamado operad de Lie  L {\displaystyle L} tal que las álgebras sobre  L {\displaystyle L} son precisamente las álgebras de Lie. De esta manera, el operad  L {\displaystyle L} es una forma de abstraer en un objeto matemático las operaciones que comparten entre sí todas las álgebras de Lie. El operad de relaciona con sus álgebras de manera similar a como un grupo se relaciona con las representaciones del grupo.

La teoría de operads tiene su origen en la topología algebraica, donde fueron introducidas en 1969 por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt con el fin de caracterizar ciertos espacios de lazos.[1]​ y por J. Peter Mayin 1970.[2]​ May creó la palabra "operad" como un acrónimo de "operaciones" y "mónada", a lo que se une también el hecho de que su madre era cantante de ópera.[3]​

El interés por la teoría de operads recobró actualidad a finales del siglo XX a partir de que, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich, Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la llamada dualidad de operads de Koszul.[4]​[5]​ Desde entonces, las operaciones han encontrado muchas aplicaciones como, por ejemplo, en la cuantización por deformación de las variedades de Poisson, en la conjetura de Deligne, o la homología de grafos dentro de los trabajos de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

## Referencias de ampliación

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* Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0.
* Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8.
* «Operads and PROPs». arXiv:math/0601129.[[arXiv]]:[http://arxiv.org/abs/math/0601129+math/0601129]''&rfr_id=info:sid/es.wikipedia.org:Operad">
* Stasheff, Jim (June–July 2004). «What Is...an Operad?». Notices of the American Mathematical Society 51 (6): 630-631. Consultado el 17 de enero de 2008.
* Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno (2012), Algebraic Operads, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 346, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-30361-6, archivado desde el original el 23 de agosto de 2011, consultado el 13 de enero de 2023 .
* Zinbiel, Guillaume W. (2012), «Encyclopedia of types of algebras 2010», en Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, eds., Operads and universal algebra, Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics 9, pp. 217-298, Bibcode:2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116 .
* Fresse, Benoit (17 de mayo de 2017), Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups, Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3480-9 .
* Miguel A. Mendéz (2015). Set Operads in Combinatorics and Computer Science. SpringerBriefs in Mathematics. ISBN 978-3-319-11712-6.
* Samuele Giraudo (2018). Nonsymmetric Operads in Combinatorics. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6.

## Citas

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## Referencias

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1. ↑ May, J. P. (1972). The Geometry of Iterated Loop Spaces. Lecture Notes in Mathematics (en inglés británico) 271. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/bfb0067491.
2. ↑ May, J. P. (1972). Iterated loop spaces and the. Springer Berlin Heidelberg. pp. 39-49. ISBN 978-3-540-05904-2. Consultado el 13 de enero de 2023.
3. ↑ May, J. Peter. «Operads, Algebras, and Modules». math.uchicago.edu. Consultado el 28 de septiembre de 2018.
4. ↑ Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail (1994). «Koszul duality for operads». Duke Mathematical Journal (en inglés) 76 (1): 203-272. ISSN 0012-7094. doi:10.1215/S0012-7094-94-07608-4.
5. ↑ Loday, Jean-Louis (1996). «La renaissance des opérades». www.numdam.org. Séminaire Nicolas Bourbaki (en inglés). Consultado el 27 de septiembre de 2018.

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