Producto tensorial inductivo

La topología más fina localmente convexa en un espacio vectorial topológico (EVT) en  X ⊗ Y , {\displaystyle X\otimes Y,} el producto tensorial de dos EVT localmente convexos, hace que la aplicación canónica separadamente continua  ⋅ ⊗ ⋅ : X × Y → X ⊗ Y {\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y} (definida enviando  ( x , y ) ∈ X × Y {\displaystyle (x,y)\in X\times Y} a  x ⊗ y {\displaystyle x\otimes y} ) se denomina topología inductiva o topología  ι {\displaystyle \iota } . Cuando  X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} está dotado de esta topología, se denota por  X ⊗ ι Y {\displaystyle X\otimes _{\iota }Y} y se denomina producto tensorial inductivo de  X {\displaystyle X} e  Y . {\displaystyle Y.} [1]​.

## Preliminares

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Sean  X , Y , {\displaystyle X,Y,} y  Z {\displaystyle Z} espacios vectoriales topológicos localmente convexos y  L : X → Y {\displaystyle L:X\to Y} una aplicación lineal.

* L : X → Y {\displaystyle L:X\to Y} es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y  L : X → Im ⁡ L {\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L} es una aplicación abierta, donde  Im ⁡ L , {\displaystyle \operatorname {Im} L,} la imagen de  L , {\displaystyle L,} tiene la topología subespacial inducida por  Y . {\displaystyle Y.}
* Si  S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} es un subespacio de  X {\displaystyle X} , entonces tanto la aplicación cociente  X → X / S {\displaystyle X\to X/S} como la inyección canónica  S → X {\displaystyle S\to X} son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal  L : X → Y {\displaystyle L:X\to Y} se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera:  X → X / ker ⁡ L → L 0 Im ⁡ L → Y {\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y} donde  L 0 ( x + ker ⁡ L ) := L ( x ) {\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)} define una biyección.
* El conjunto de operadores lineales continuos X → Z {\displaystyle X\to Z} (respectivamente, operadores bilineales continuos  X × Y → Z {\displaystyle X\times Y\to Z} ) se denotará por  L ( X ; Z ) {\displaystyle L(X;Z)} (respectivamente,  B ( X , Y ; Z ) {\displaystyle B(X,Y;Z)} ), donde si  Z {\displaystyle Z} es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir  L ( X ) {\displaystyle L(X)} (respectivamente,  B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} ).
* Se denota el espacio dual de  X {\displaystyle X} por  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en  X , {\displaystyle X,} sean continuos o no) por  X # . {\displaystyle X^{\\#}.}
* Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} con una comilla después del símbolo (por ejemplo,  x ′ {\displaystyle x^{\prime }} denota un elemento de  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} (no confundir con una derivada) y las variables  x {\displaystyle x} y  x ′ {\displaystyle x^{\prime }} no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
* Una aplicación lineal  L : H → H {\displaystyle L:H\to H} desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si  ⟨ L ( x ) , X ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0} para cada  x ∈ H . {\displaystyle x\in H.} En este caso, existe una aplicación positiva única  r : H → H , {\displaystyle r:H\to H,} llamada raíz cuadrada de  L , {\displaystyle L,} tal que  L = r ∘ r . {\displaystyle L=r\circ r.} [2]​
* Si  L : H 1 → H 2 {\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}} es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces  L ∗ ∘ L {\displaystyle L^{*}\circ L} es siempre positivo. Ahora, denótese como  R : H → H {\displaystyle R:H\to H} su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de  L . {\displaystyle L.} Defínase  U : H 1 → H 2 {\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}} primero en  Im ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Im} R} configurando  U ( x ) = L ( x ) {\displaystyle U(x)=L(x)} para  x = R ( x 1 ) ∈ Im ⁡ R {\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R} y extendiendo  U {\displaystyle U} continuamente a  Im ⁡ R ¯ , {\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},} y luego definir  U {\displaystyle U} en  ker ⁡ R {\displaystyle \operatorname {ker} R} configurando  U ( x ) = 0 {\displaystyle U(x)=0} para  x ∈ ker ⁡ R {\displaystyle x\in \operatorname {ker} R} y extender esta aplicación linealmente a todo  H 1 . {\displaystyle H_{1}.} La aplicación  U | Im ⁡ R : Im ⁡ R → Im ⁡ L {\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L} es una isometría sobreyectiva y  L = U ∘ R . {\displaystyle L=U\circ R.}
* Un aplicación lineal  Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda :X\to Y} se llama compacta o completamente continua si existe un entorno  U {\displaystyle U} del origen en  X {\displaystyle X} tal que  Λ ( U ) {\displaystyle \Lambda (U)} es precompacta en  Y . {\displaystyle Y.} [3]​
* En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como  L : H → H {\displaystyle L:H\to H} , tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:[4]​

Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0,  r 1 > r 2 > ⋯ > r k > ⋯ {\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots } y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero  V i {\displaystyle V_{i}} de  H {\displaystyle H} ( i = 1 , 2 , … {\displaystyle i=1,2,\ldots } ) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios  V i {\displaystyle V_{i}} son ortogonales por pares; (2) para cada  i {\displaystyle i} y cada  x ∈ V i , {\displaystyle x\in V_{i},} L ( x ) = r i x {\displaystyle L(x)=r_{i}x} ; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por  ∪ i V i {\displaystyle \cup _{i}V_{i}} es igual al núcleo de  L . {\displaystyle L.} [4]​

### Notación para topologías

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Artículos principales: Topologías en espacios de aplicaciones lineales y  Topología de Mackey.

* σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)} denota la topología más gruesa en  X {\displaystyle X} , lo que hace que cada aplicación en  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} sea continua y  X σ ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}} o  X σ {\displaystyle X_{\sigma }} denota el espacio  X {\displaystyle X} dotado con esta topología.
* σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} denota la topología *débil sobre  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} y  X σ ( X ′ , X ) {\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}} o  X σ ′ {\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }} denota  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} dotado con esta topología.
* Cada  x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} induce una aplicación  X ′ → R {\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} } definida por  λ ↦ λ ( x 0 ) . {\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} es la topología más burda de  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} , lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
* b ( X , X ′ ) {\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)} denota la topología de convergencia acotada en  X {\displaystyle X} y  X b ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}} o  X b {\displaystyle X_{b}} denota  X {\displaystyle X} dotado con esta topología.
* b ( X ′ , X ) {\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)} denota la topología de convergencia acotada en  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} o la topología dual fuerte en  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} y  X b ( X ′ , X ) {\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}} o  X b ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime }} denota  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} dotado con esta topología.
* Como es habitual, si  X ′ {\displaystyle X^{\prime }} se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es  b ( X ′ , X ) . {\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}

## Propiedad universal

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Supóngase que  Z {\displaystyle Z} es un espacio localmente convexo y que  I {\displaystyle I} es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma  X × Y → Z , {\displaystyle X\times Y\to Z,} dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de  X ⊗ Y → Z . {\displaystyle X\otimes Y\to Z.} [1]​. Entonces, cuando el dominio de  I {\displaystyle I} está restringido a  B ( X , Y ; Z ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)} (el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio  L ( X ⊗ ι Y ; Z ) {\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)} de operadores lineales continuos  X ⊗ ι Y → Z . {\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.} En particular, el espacio dual continuo de  X ⊗ ι Y {\displaystyle X\otimes _{\iota }Y} es canónicamente isomorfo al espacio  B ( X , Y ) , {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),} (el espacio de formas bilineales continuas separadas en  X × Y {\displaystyle X\times Y} ).

Si  τ {\displaystyle \tau } es una topología sobre un EVT localmente convexa en  X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} ( X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} con esta topología se indicará como  X ⊗ τ Y {\displaystyle X\otimes _{\tau }Y} ), entonces  τ {\displaystyle \tau } es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:[5]​

Para cada EVT localmente convexo  Z , {\displaystyle Z,} si  I {\displaystyle I} es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma  X × Y → Z , {\displaystyle X\times Y\to Z,} dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de  X ⊗ Y → Z , {\displaystyle X\otimes Y\to Z,} entonces cuando el dominio de  I {\displaystyle I} está restringido a  B ( X , Y ; Z ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)} (espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio  L ( X ⊗ τ Y ; Z ) {\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)} de operadores lineales continuos  X ⊗ τ Y → Z . {\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}

## Véase también

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* Espacio normado auxiliar
* Topología inicial
* Producto tensorial inyectivo
* Operador nuclear
* Espacio nuclear
* Producto tensorial proyectivo
* Producto tensorial de espacios de Hilbert
* Producto tensorial topológico

## Referencias

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1. ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 96.
2. ↑ Trèves, 2006, p. 488.
3. ↑ Trèves, 2006, p. 483.
4. ↑ a b Trèves, 2006, p. 490.
5. ↑ Grothendieck, 1966, p. 73.

## Bibliografía

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* Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
* Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156.
* Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
* Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.
* Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
* Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
* Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822.
* Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061.
* Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
* Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
* Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
* Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
* Trèves, François (2006) [​1967​]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
* Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.

## Enlaces externos

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* Espacio nuclear en ncatlab

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