Toro (geometría)

Un toro anular con una selección de círculos en su superficie A medida que disminuye la distancia al eje de revolución, el toroide anular se convierte en un toroide de cuerno, luego en un toroide de huso y, finalmente, degenera en una esfera de doble cubierta.

R > r:
Toro de anillo

R = r:
Toro de cuerno

R < r:
Toro de huso

Mitades inferiores y secciones longitudinales de las tres clases de toro.

Desarrollo de un toro. Un toroide anular con relación de aspecto 3, la relación entre los diámetros del círculo mayor (magenta) y el menor (rojo).

En geometría, un toro es un tipo concreto de toroide cuya superficie de revolución es generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta)[1]​ o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín torus, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín sterno y griego στορέννυμι, romanizado storénnymi) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.[2]​ Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: una rosquilla, una cámara de neumático, etc.

## Geometría

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Representación del toro en el sistema diédrico.

Geométricamente, se define el toro como el subespacio de  R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} definido por las ecuaciones paramétricas

{ x = cos ⁡ θ ⋅ ( R + r cos ⁡ φ ) y = sen ⁡ θ ⋅ ( R + r cos ⁡ φ ) z = r sen ⁡ φ {\displaystyle {\begin{cases}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\\y=\operatorname {sen} \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\\z=r\operatorname {sen} \varphi \end{cases}}}

donde  R {\displaystyle R} es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro,  r {\displaystyle r} es el radio del conducto, ambas constantes con  r < R {\displaystyle r<R} y donde  θ , φ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )} son ángulos que determinan el círculo completo. Puede demostrarse mediante el uso de cartas que el toro es una superficie regular.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es

( R − x 2 + y 2 ) 2 + z 2 = r 2 {\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}

La superficie A y el volumen V del toro pueden hallarse empleando el teorema de Papus de Alejandría. Los resultados son:

A = 4 π 2 R r {\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr\,}

V = 2 π 2 R r 2 {\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,} , donde  R {\displaystyle R} es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y  r {\displaystyle r} es el radio de dicha sección.
A = π 2 D d {\displaystyle A=\pi ^{2}Dd\,}

V = 1 4 π 2 D d 2 {\displaystyle V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,} usando los respectivos diámetros : D = 2 R , d = 2 r {\displaystyle D=2R,d=2r}

## Topología

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Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos circunferencias,  S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} .

Topológicamente, el toro, que denotamos por  T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} , es el espacio topológico definido como el producto cartesiano de dos circunferencias con la topología producto, esto es  S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} . Se puede comprobar que este espacio resulta ser una superficie, y que además esta resulta ser cerrada. En topología hablamos de «el» toro y «un» toro de forma intercambiable, al igual que suele hacerse con espacios topológicos cotidianos; pues consideramos que siempre que estemos hablando de un espacio homeomorfo a  S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} , estaremos hablando del toro. Es por tanto importante notar que, salvo homeomorfismo, existen varias formas distintas y equivalentes de definir el toro. Se cumple por supuesto que el toro definido geométricamente (definido por ecuaciones paramétricas), entendido como subespacio topológico de  R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , es homeomorfo a  T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} .

Además, puede obtiene gracias al teorema de clasificación de superficies cerradas, que el toro  T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} es la superficie cerrada orientable de género 1, por lo que es un superficie de notable importancia en la topología.

El toro puede también describirse como un cociente del plano euclídeo bajo la identificación

( x , y ) ∼ ( x + 1 , y ) ∼ ( x , y + 1 ) {\displaystyle (x,y)\sim (x+1,\ y)\sim (x,\ y+1)}

También equivalentemente, el toro puede ser definido como el cociente del cuadrado unidad (esto es la región convexa del plano  R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1)) generado mediante una identificación específica de los bordes opuestos. Esta identificación es, descrita como su polígono fundamental,  A B A − 1 B − 1 {\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}} .

El grupo fundamental del toro es, por las propiedades del grupo fundamental, precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma, es decir, se tiene:

π 1 ( T 2 ) ≅ π 1 ( S 1 ) × π 1 ( S 1 ) ≅ Z × Z {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})\cong \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } .

Intuitivamente, el que este grupo sea abeliano significa que un lazo que rodea primero el «agujero» y luego el «cuerpo» del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que recorra primero el «cuerpo» y luego el «agujero». Es decir, los caminos estrictamente meridionales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.

El primer grupo de homología del toro es isomorfo a su grupo fundamental; puesto que dicho grupo fundamental es abeliano.

Análogamente al toro, se define el toro sólido como el espacio topológico tridimensional obtenido mediante el producto cartesiano de un disco y una circunferencia:  D 2 × S 1 {\displaystyle D^{2}\times \mathbb {S} ^{1}} .

## Toro plano

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En tres dimensiones, se puede doblar un rectángulo hasta formar un toro, pero al hacerlo normalmente se estira la superficie, como se ve por la distorsión del patrón de cuadros Visto en proyección estereográfica, un toro plano en 4D se puede proyectar en 3 dimensiones y girar sobre un eje fijo El mosaico más simple de un toro plano es {4,4}1,0, construido sobre la superficie de un duocilindro con 1 vértice, 2 aristas ortogonales y una cara cuadrada. Se ve aquí proyectado estereográficamente en el espacio tridimensional como un toroide

Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como cociente,  R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} /L, donde L es un subgrupo discreto de  R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} isomorfo a  Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} . Esto le da al cociente la estructura de una variedad de Riemann. Quizás el ejemplo más simple de esto sea cuando L=  Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} :  R 2 / Z 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}} , que también puede describirse como un sistema de coordenadas cartesianas bajo las identificaciones (x, y) ~ (x \+ 1, y) ~ (x, y \+ 1). Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como toro plano cuadrado.

Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toro en espacios euclídeos de 4 o más dimensiones. Su superficie tiene curvatura de Gauss cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, véase más abajo).

Un embebido euclídeo simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es el siguiente:

( x , y , z , w ) = ( R cos ⁡ u , R sin ⁡ u , P cos ⁡ v , P sin ⁡ v ) {\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}

donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomórfico para un toro normal, pero no isométrico. No se puede incrustar analíticamente (mediante una función suave de clase Ck, 2 ≤ k ≤ ∞) en el espacio tridimensional euclidiano. Una aplicación en el espacio tridimensional requiere que la figura se estire, en cuyo caso se parece a un toroide normal. Por ejemplo, en la siguiente aplicación:

( x , y , z ) = ( ( R + P sin ⁡ v ) cos ⁡ u , ( R + P sin ⁡ v ) sin ⁡ u , P cos ⁡ v ) . {\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}

Si R y P en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario (R, P)= (cos(η), sin(η)), entonces u, v y 0 < η < π/2 parametrizan la 3-esfera unidad como un sistema de coordenadas de Hopf. En particular, para ciertas opciones muy específicas de un toro plano cuadrado en la 3-esfera S3, donde η= π/4 como arriba, el toro dividirá la 3-esfera en dos subconjuntos de toros sólidos congruentes con la superficie del toro plano antes mencionada como su frontera común. Un ejemplo es el toro T definido por

T = { ( x , y , z , w ) ∈ S 3 ∣ x 2 + y 2 = 1 2 , z 2 + w 2 = 1 2 } . {\displaystyle T=\left\\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\\}.}

Otros toros en S3 que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma Q⋅T', donde Q es una rotación del espacio de 4 dimensiones  R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , o en otras palabras, Q es miembro del grupo de Lie SO(4).

Se sabe que no existe ninguna incrustación C2 (dos veces diferenciable continuamente) de un toro plano en el 3-espacio (la idea de la demostración es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez). Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, dado que tiene curvatura cero en todas partes, debe quedar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción. Por otro lado, según el teorema de Nash-Kuiper, que fue probado en la década de 1950, existe un embebido isométrico C1. Esto es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incorporación.

En abril de 2012, se encontró un embebido explícito C1 (continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio euclídeo tridimensional  R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .[3]​[4]​[5]​[6]​ Es un toro plano en el sentido de que, como espacios métricos, es isométrico a un toro cuadrado plano. Tiene una estructura similar a un fractal, ya que se construye corrugando repetidamente un toro común. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene definidas las normales a la supoerficie, lo que produce el llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es hacer que las amplitudes de las corrugaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda".[7]​ Estas corrugaciones infinitamente recursivas se utilizan solo para incrustaciones en tres dimensiones, y no son una característica intrínseca del toro plano. Esta es la primera vez que dicha incrustación se define mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora.

### Clasificación conforme de toro plano

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En el estudio de superficies de Riemann, se dice que dos superficies geométricas compactas y lisas son "conformemente equivalentes" cuando existe un homeomorfismo suave entre ellas que preserva el ángulo y la orientación. El teorema de uniformización garantiza que cada superficie de Riemann es conformemente equivalente a una que tiene curvatura gaussiana constante. En el caso de un toro, la curvatura constante debe ser cero. Luego se define el "espacio de módulos" del toro para que contenga un punto para cada clase de equivalencia conforme, con la topología adecuada. Resulta que este espacio de módulos M puede identificarse con una esfera perforada que es lisa excepto por dos puntos que tienen un ángulo menor que 2π (radianes) a su alrededor: uno tiene π y el otro tiene 2π/3.

M puede convertirse en un espacio compacto M* añadiendo un punto adicional que represente el caso límite cuando un toro rectangular se aproxima a una relación de aspecto de 0 en el límite. El resultado es que este espacio de módulos compactado es una esfera con «tres picos», cada uno de los cuales tiene un ángulo inferior a 2π alrededor de ellos (dichos «picos» se denominan cúspides). Este punto adicional tendrá un ángulo cero a su alrededor. Debido a la simetría, M* se puede construir pegando dos triángulos geodésicos congruentes en el plano hiperbólico en sus límites (idénticos), donde cada triángulo tiene ángulos de π/2, π/3 y 0. Como resultado, el área de cada triángulo se puede calcular como π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, por lo que se deduce que el espacio de módulos compactados M* tiene un área igual a π/3.

Las otras dos cúspides se localizan en los puntos correspondientes en M* a a) el toro cuadrado (π) y b) el toro hexagonal (2π/3). Estas son las únicas clases de equivalencia conforme de toros planos que tienen automorfismos conformes distintos de los generados por traslaciones y negación.

## El toro n dimensional

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Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un toro n dimensional o más comúnmente n-toro, denotado por  T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} , se define como el producto de n circunferencias:

T n = S 1 × ⋯ ( n ) × S 1 {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times {\stackrel {(n)}{\cdots }}\times \mathbb {S} ^{1}} .

* El 1-toro es precisamente la circunferencia,  S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} .
* El toro usual,  T 2 = S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} , correspondería al 2-toro.
* El 3-toro puede considerarse como  T 2 × S 1 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}} , esto es como el producto cartesiano del toro usual por la circunferencia.
* Generalizando, el n-toro puede describirse como el cociente de  R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.

El n-toro es  R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} módulo la acción del grupo enrejado Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el n-toro se obtiene a partir del n-cubo pegando las caras opuestas.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.

El grupo fundamental del n-toro es siempre un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo de homología de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango  ( n k ) {\displaystyle n \choose {k}} . De esto se deduce que la característica de Euler del n-toro es 0 para cualquier n. El anillo homológico H ∗ ( T n , Z ) {\displaystyle {\text{H}}^{*}(\mathbb {T} ^{n},\ \mathbb {Z} )} puede identificarse con el álgebra exterior sobre  Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -módulo Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia n.

## Aplicaciones

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### Matemática

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Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.

Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura.

Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el teorema de los cuatro colores se convierte en teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.

### Física

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En magnetismo, se enrolla una bobina con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un campo magnético dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un imán; se coloca un material ferromagnético en el entrehierro y se imprime una corriente eléctrica por la bobina. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y este queda magnetizado, formando un imán.

Uno de los sistemas más promisorios para obtener electricidad a partir de la fusión nuclear controlada se basa en el confinamiento magnético del plasma a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el tokamak o el Thorus, también muchos aceleradores de partículas recurren a una forma cuasi toroidal.

### Óptica

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En el campo de la óptica, se usa la lente tórica para corregir el astigmatismo tienen una superficie tórica, que presenta dos curvaturas en orientaciones perpendiculares entre sí.

### Videojuegos

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En el mundo de los videojuegos de estrategia es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el norte reaparecen en el sur, como si le hubiesen dado la vuelta al mundo. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el oriente, reaparecen en el occidente y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudoimpresión de un mundo esférico aunque el terreno de juego este pensado como un plano rectangular.

## Galería

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* Intersección de un toro y un plano.

* Animación de un toro cortado por un plano, y creación de Círculos de Villarceau. Ver Vesica piscis.

* Ilustración de un toro con sus principales variables.

* Una geodésica cerrada del toro.

## Véase también

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* Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.
* Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
* Toroide
* Toro de Clifford
* Corona circular
* Óvalo de Cassini
* Spira de Perseo
* Curva elíptica
* Período de enrejado
* Fibrado de Seifert

## Referencias

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1. ↑ Real Academia Española. «toro». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
2. ↑ Weisstein, Eric W. «Torus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
3. ↑ Filippelli, Gianluigi (27 de abril de 2012). «Doc Madhattan: A flat torus in three dimensional space». Proceedings of the National Academy of Sciences 109 (19): 7218-7223. PMC 3358891. PMID 22523238. doi:10.1073/pnas.1118478109. Archivado desde el original el 25 de junio de 2012. Consultado el 21 de julio de 2012.
4. ↑ Enrico de Lazaro (18 de abril de 2012). «Mathematicians Produce First-Ever Image of Flat Torus in 3D | Mathematics». Sci-News.com. Archivado desde el original el 1 de junio de 2012. Consultado el 21 de julio de 2012.
5. ↑ «Mathematics: first-ever image of a flat torus in 3D – CNRS Web site – CNRS». Archivado desde el original el 5 de julio de 2012. Consultado el 21 de julio de 2012.
6. ↑ «Flat tori finally visualized!». Math.univ-lyon1.fr. 18 de abril de 2012. Archivado desde el original el 18 de junio de 2012. Consultado el 21 de julio de 2012.
7. ↑ Hoang, Lê Nguyên (2016). «The Tortuous Geometry of the Flat Torus». Science4All. Consultado el 1 de noviembre de 2022.

## Bibliografía

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* Kozak, Ana María; Pompeya Pastorelli, Sonia; Verdanega, Pedro Emilio. Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal (2007 edición). McGraw-Hill. p. 744\. ISBN 9789701065969.
* Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0. (en inglés)
* V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3540152814, ISBN 9783540152811. (en inglés)

## Enlaces externos

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* Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Toro.
* Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre toro.
* Weisstein, Eric W. «Torus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
* Creation of a torus ( de Alexander Bogomolny Cut the Knot) — una animación en formato AVI.
* More Torus Images (de Math is Fun)
* Torus Games — juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre la topología del toro.

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