Dimension (physique)

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En physique, la dimension d'une grandeur physique est une propriété qui la relie aux grandeurs de base d'un système de grandeurs choisi. Dans un système de grandeurs donné, une grandeur physique peut être mesurée à l'aide de multiples unités, mais sa dimension est unique. Certaines grandeurs sont de dimension 1, comme l'indice de réfraction, l'indice adiabatique d'un gaz ou la constante de structure fine. Elles sont dites sans dimension ou adimensionelles.

La manipulation des dimensions au moyen de l'analyse dimensionnelle permet de contrôler la cohérence des formules physiques, en vérifiant le principe d'homogénéité. Elle permet aussi, notamment en dynamique des fluides, de rassembler les différentes grandeurs influençant un système physique en nombres sans dimension qui caractérisent fondamentalement son comportement.

## Définition

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Le Vocabulaire international de métrologie (VIM) définit comme suit la dimension d'une grandeur[1] :

> « Expression de la dépendance d'une grandeur par rapport aux grandeurs de base d'un système de grandeurs sous la forme d'un produit de puissances de facteurs correspondant aux grandeurs de base, en omettant tout facteur numérique. »

La dimension d'une grandeur ne tient pas compte de son caractère scalaire, vectoriel ou tensoriel[2]. Elle consiste en un produit dit « produit de dimensions »[3], dans lequel chaque facteur est la dimension d'une grandeur de base[4] mise à une puissance rationnelle[4] appelée « exposant dimensionnel »[3],[5]. Par exemple, la dimension d'une force dans le système international est :  dim ( F ) = L M T − 2 {\displaystyle {\text{dim}}(F)={\mathsf {L}}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}} , où les trois symboles de droite désignent respectivement la dimension de la longueur, de la masse et du temps.

Tout système de grandeurs se fonde sur des grandeurs dites « de base »[6],[N 1]. Par exemple, le système de grandeurs sur lequel s'appuie le Système international (SI) se fonde sur sept grandeurs de base, indépendantes entre elles au sens où aucune équation physique ne permet d'exprimer une de ces grandeurs en fonction des autres. Leurs dimensions sont les dimensions de base du système. Les autres grandeurs sont dites « grandeurs dérivées », leurs dimensions pouvant toujours s'exprimer par combinaison des dimensions de base.

## Dimension et nature d'une grandeur

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La dimension d'une grandeur est reliée à sa nature : dans un système de grandeurs donné, d'une part, les grandeurs de même nature ont toujours la même dimension[8],[9] et, par contraposée, des grandeurs de dimensions différentes sont toujours de nature différente[8] ; mais des grandeurs de même dimension ne sont pas nécessairement de même nature[8],[9],[N 2].

## Grandeurs de base

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Le Bureau international des poids et mesures a choisi comme grandeurs de base pour le Système international d'unités (SI) :

* la longueur, dont la dimension est de symbole  L {\displaystyle {\mathsf {L}}}  ;
* la masse, dont la dimension est de symbole  M {\displaystyle {\mathsf {M}}}  ;
* le temps, dont la dimension est de symbole  T {\displaystyle {\mathsf {T}}}  ;
* le courant électrique, dont la dimension est de symbole  I {\displaystyle {\mathsf {I}}}  ;
* la température thermodynamique, dont la dimension est de symbole  Θ {\displaystyle \Theta }  ;
* la quantité de matière, dont la dimension est de symbole  N {\displaystyle {\mathsf {N}}}  ;
* l'intensité lumineuse, dont la dimension est de symbole  J {\displaystyle {\mathsf {J}}} .

Le choix de ces grandeurs de base est arbitraire. L'union internationale de chimie pure et appliquée écrit dans la 3e édition de Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry :

> « Le nombre et le choix des grandeurs de base est purement arbitraire. D'autres quantités pourraient être considérées plus fondamentales, comme la charge électrique  Q {\displaystyle Q} au lieu du courant électrique  I {\displaystyle I} [11],[N 3]. »

D'autres systèmes de grandeurs, historiques ou actuels, ont fait d'autres choix. Par exemple dans les systèmes CGS, il n'y a pas de grandeur de base associée aux phénomènes électromagnétiques. La dimension du courant électrique est  dim ( I ) = M 1 / 2 L 1 / 2 T − 1 {\displaystyle {\text{dim}}(I)={\mathsf {M}}^{1/2}{\mathsf {L}}^{1/2}{\mathsf {T}}^{-1}} dans le système CGS électromagnétique, ou encore  dim ( I ) = M 1 / 2 L 3 / 2 T − 2 {\displaystyle {\text{dim}}(I)={\mathsf {M}}^{1/2}{\mathsf {L}}^{3/2}{\mathsf {T}}^{-2}} dans le système CGS électrostatique. Autre exemple, l'ancien système English Engineering Units (en) compte parmi ses grandeurs de base à la fois la durée, la longueur, la masse et la force.

## Grandeurs dérivées

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On obtient la dimension d'une grandeur dérivée à partir d'une relation entre cette grandeur et d'autres grandeurs dont les dimensions sont connues. Par exemple, dans le cas d'une vitesse, on peut exploiter  v = d / t {\displaystyle v=d/t} avec  d {\displaystyle d} une distance et  t {\displaystyle t} une durée : on en déduit  dim ( v ) = L T − 1 {\displaystyle {\text{dim}}(v)={\mathsf {LT^{-1}}}} . En connaissant la dimension d'une vitesse, on peut utiliser pour une force la seconde loi de Newton  F → = m d v → d t {\displaystyle {\vec {F}}=m{\operatorname {d} \\!{\vec {v}} \over \operatorname {d} \\!t}} , et obtenir  dim ( F → ) = M L T − 2 {\displaystyle {\text{dim}}({\vec {F}})={\mathsf {MLT^{-2}}}} .

Par exemple, les dimensions de quelques grandeurs dérivées sont :

* Accélération :  dim ( a → ) = L T − 2 {\displaystyle {\text{dim}}({\vec {a}})={\mathsf {LT^{-2}}}}  ;
* Énergie :  dim ( E ) = M L 2 T − 2 {\displaystyle {\text{dim}}(E)={\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}}  ;
* Capacité thermique :  dim ( C ) = M L 2 T − 2 Θ − 1 {\displaystyle {\text{dim}}(C)={\mathsf {ML^{2}T^{-2}\Theta ^{-1}}}}  ;
* Champ magnétique :  dim ( B → ) = M T − 2 I − 1 {\displaystyle {\text{dim}}({\vec {B}})={\mathsf {MT^{-2}I^{-1}}}}  ;
* Champ électrique :  dim ( E → ) = M L T − 3 I − 1 {\displaystyle {\text{dim}}({\vec {E}})={\mathsf {MLT^{-3}I^{-1}}}} .

## Histoire

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La notion moderne de dimension d'une grandeur apparaît avec le mathématicien et physicien français Joseph Fourier[12] et sa Théorie analytique de la chaleur[13] parue en 1822[12],[13]. Il assimile à l'origine les dimensions aux valeurs numériques que prennent les exposants dimensionnels. Pour lui, par exemple, l'accélération est donc de dimension 1 en longueur, et de dimension -2 en temps.

Pour James Clerk Maxwell, la dimension de l'accélération est toute l'expression  L T − 2 {\displaystyle {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-2}} , et non la série des exposants[14] : c'est cette terminologie qui est utilisée aujourd'hui.

## Notes et références

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### Notes

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1. ↑ On les nomme parfois « primaires »[7] ou « fondamentales »[7],[6]. Le vocabulaire retenu par le Bureau international des poids et mesures est « de base »[1].
2. ↑ Par exemple, les grandeurs moment d'une force et énergie ne sont pas considérées, par convention, comme étant de même nature, bien qu'elles aient la même dimension[10] ; il en est de même, pour la capacité thermique et l'entropie[10].
3. ↑ Citation originale : « The number and choice of base quantities is pure convention. Other quantities could be considered to be more fundamental, such as electric charge Q instead of electric current I ».

### Références

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1. ↑ a et b JCGM 200:2012, § 1.7 : dimension, p. 4, col. 2.
2. ↑ JCGM 200:2012, § 1.7 : dimension, p. 5, col. 2, n. 3.
3. ↑ a et b Courtier et Giacomo 2003, § 1.5 : dimension d'une grandeur, p. R113-4, col. 1.
4. ↑ a et b JCGM 200:2012, § 1.7 : dimension, p. 5, col. 2, n. 1.
5. ↑ JCGM 200:2012, § 1.7 : dimension, p. 6, col. 2,n. 5.
6. ↑ a et b Delaplace et al. 2004, p. 17\.
7. ↑ a et b Çengel et Cimbala 2017, p. 15\.
8. ↑ a b et c JCGM 200:2012, § 1.7 : dimension, p. 5, col. 2, n. 4.
9. ↑ a et b JCGM 200:2012, § 1.2 : nature de grandeur, p. 3, col. 2, n. 2.
10. ↑ a et b JCGM 200:2012, § 1.2 : nature de grandeur, p. 3, col. 2, n. 2, ex. :.
11. ↑ IUPAC, Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry, 3e édition, p. 4.
12. ↑ a et b Melzani 2022, p. 352\.
13. ↑ a et b Worstell 2014, p. 16\.
14. ↑ (en) James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, volume 1, 1873 (lire en ligne), p. 5.

## Bibliographie

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: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

* [JCGM 200:2012] (en + fr) Comité commun pour les guides en métrologie (JCGM), Vocabulaire international de métrologie (VIM) : concepts fondamentaux et généraux et termes associés (JCGM 200:2012), Sèvres, Bureau international des poids et mesures, 2012, 3e éd., XV-[1]-91 (OCLC 812030900, lire en ligne [PDF])XV-[1]-91&rft_id=info:oclcnum/812030900&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Dimension+(physique)">.
* [Çengel et Cimbala 2017] Yunus A. Çengel et John M. Cimbala (trad. de l'anglais par Alexandre Chagnes, Sophie Griveau, Virginie Lair et Armelle Ringuedé), Mécanique des fluides : fondements et applications [« Fluid mechanics : fundamentals and applications »], Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « Sciences de l'ingénieur », septembre 2017, 1re éd., XXI-972 p., 21,5 × 27,5 cm (EAN 9782804164836, BNF 45797686, SUDOC 20434316X, présentation en ligne, lire en ligne)XXI-972&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Dimension+(physique)">.
* [Courtier et Giacomo 2003] Jean-Claude Courtier et Pierre Giacomo, Vocabulaire de la mesure, Saint-Denis, TI, coll. « Techniques de l'ingénieur / instrumentation et méthodes de mesure » (no R113), septembre 2003, 3e éd. (1re éd. octobre 1988) (OCLC 9709555237, DOI 10.51257/a-v1-r113, présentation en ligne, lire en ligne).
* [Delaplace et al. 2004] Guillaume Delaplace, Karine Loubière, Fabrice Ducept et Romain Jeantet, Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle : méthode et exemples résolus, Paris, Lavoisier, coll. « Tec & Doc », mai 2014, 1re éd., XIV-443 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-2-7430-1570-1, EAN 9782743015701, OCLC 880405874, BNF 43863617, HAL hal-01173099, SUDOC 178433454, présentation en ligne, lire en ligne)XIV-443&rft.isbn=978-2-7430-1570-1&rft_id=info:oclcnum/880405874&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Dimension+(physique)">.
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