Fermé (topologie)

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En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.

## Propriétés

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* Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide).
* Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte[1] — l'intersection de la famille vide).
* Pour toute partie A de E, l'intersection de tous les fermés contenant A est donc un fermé, appelé l'adhérence de A. C'est le plus petit fermé contenant A. Il est donc réduit à A si et seulement si A est fermé.
* Un espace T1 est un espace dont tous les singletons sont fermés. Tout espace séparé est T1.
* L'espace E est dit connexe si E et ∅ sont ses seules parties à la fois ouvertes et fermées.
* Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle [0, 1[ dans ℝ.
* La propriété d'être fermé dépend en général de l'espace ambiant considéré : dans ]–1, 1[ muni de la topologie induite par celle de ℝ, ce même intervalle [0, 1[ est fermé, c'est-à-dire qu'il est la trace sur ]–1, 1[ d'un fermé de ℝ (par exemple [0, 1[ = ]–1, 1[ ∩ [0, + ∞[).
* Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
* F est un fermé si et seulement s'il contient son ensemble dérivé, c'est-à-dire si tout « point limite » (ou « point d'accumulation ») de F est un élément de F.
* La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.
* Une application f : E → F entre deux espaces topologiques est continue si et seulement si l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

## Partie localement fermée

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Une partie A de E est dite localement fermée (dans E) si elle possède l'une des propriétés équivalentes suivantes[2] :

1. tout point de  A {\displaystyle A} possède dans  E {\displaystyle E} un voisinage V {\displaystyle V} tel que  A ∩ V {\displaystyle A\cap V} soit un fermé de  V {\displaystyle V} (c'est-à-dire tel que  A ∩ V = F ∩ V {\displaystyle A\cap V=F\cap V} pour au moins un fermé  F {\displaystyle F} de  E {\displaystyle E} ) ;
2. A {\displaystyle A} est ouvert dans son adhérence  A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} (c'est-à-dire :  A = V ∩ A ¯ {\displaystyle A=V\cap {\overline {A}}} pour au moins un ouvert  V {\displaystyle V} de  E {\displaystyle E} ) ;
3. A {\displaystyle A} est l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de  E {\displaystyle E}

Démonstration des équivalences

2 ⇒ 3 {\displaystyle 2\Rightarrow 3} :  2 {\displaystyle 2} implique que  A {\displaystyle A} est l'intersection d'un ouvert de  E {\displaystyle E} et du fermé  A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} .

3 ⇒ 1 {\displaystyle 3\Rightarrow 1} : Pour tout  x ∈ A {\displaystyle x\in A} , on prend pour  V {\displaystyle V} et  F {\displaystyle F} un ouvert et un fermé dont  A {\displaystyle A} est l'intersection.

1 ⇒ 2 {\displaystyle 1\Rightarrow 2} : Pour tout  x ∈ A {\displaystyle x\in A} , soit  V {\displaystyle V} un voisinage de  x {\displaystyle x} tel que  A ∩ V {\displaystyle A\cap V} soit fermé dans  V {\displaystyle V} . Quitte à remplacer  V {\displaystyle V} par son intérieur, on peut supposer de plus qu'il est ouvert. Moyennant quoi,  A ¯ ∩ V ⊂ A {\displaystyle {\overline {A}}\cap V\subset A} (en effet,  A ∖ V ¯ {\displaystyle {\overline {A\setminus V}}} est alors disjoint de  V {\displaystyle V} donc  A ¯ ∩ V {\displaystyle {\overline {A}}\cap V} est réduit à  A ∩ V ¯ ∩ V = A ∩ V {\displaystyle {\overline {A\cap V}}\cap V=A\cap V} , l'adhérence relative de  A ∩ V {\displaystyle A\cap V} dans  V {\displaystyle V} ). Ceci montre que dans le sous-espace  A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , la partie  A {\displaystyle A} est voisinage de chacun de ses points donc ouverte.

## Notes et références

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1. ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.1, aperçu sur Google Livres.
2. ↑ Bourbaki, p. I.20 sur Google Livres.

## Voir aussi

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* Hiérarchie de Borel
* Espace absolument fermé (en) (les plus connus sont les compacts)
* Théorème des fermés emboîtés

* Portail des mathématiques

*[p.]: page(s)