Invariant de Seiberg-Witten

En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leurs applications, il y a la preuve de la conjecture de Thom (de), l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.

## Définition

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Soit  M {\displaystyle M} une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin Spinc s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} avec un faisceaux de spineurs associés  W ± {\displaystyle W^{\pm }} et un faisceau déterminant  L {\displaystyle L} .

Pour une 2-forme auto-duale générique  η {\displaystyle \eta } , l'espace  M {\displaystyle {\mathcal {M}}} des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension

i ( s ) := 1 4 ( c 1 ( L ) 2 − 2 χ ( M ) − 3 s i g n ( M ) ) {\displaystyle i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))} .

Le groupe de jauge G = M a p ( M , S 1 ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=Map(M,S^{1})} et son sous-groupe  G 0 = { u ∈ G : u ( x 0 ) = 1 } {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\\}} opèrent sur  M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . L' espace quotient  M / G 0 {\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}} est un  S 1 {\displaystyle S^{1}} \- faisceau de fibres principal sur  M / G {\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}} . Soit  e ∈ H 2 ( M / G ; Z ) {\displaystyle e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )} sa classe d'Euler.

Si  b 2 + ( M ) − b 1 ( M ) {\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)} est impair, alors la dimension de  M {\displaystyle {\mathcal {M}}} un nombre pair  i ( L ) = 2 d {\displaystyle i(L)=2d} . On définit alors

S W ( M , s ; g , η ) := ∫ M e d {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\int _{\mathcal {M}}e^{d}} .

Pour  b 2 + ( M ) ≥ 2 {\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2} , cet invariant ne dépend pas de  g {\displaystyle g} et  η {\displaystyle \eta } et est appelé l'invariant de Seiberg-Witten S W ( M , s ) {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})} .

## Propriétés

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Dans ce qui suit,  b 2 + ( M ) − b 1 ( M ) {\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)} est impair et  b 2 + ( M ) ≥ 2 {\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2} . Une classe de cohomologie  c ∈ H 2 ( M ; Z ) {\displaystyle c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )} est appelée classe de base si elle a une structure spinc s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} avec  c 1 ( L ) = c {\displaystyle c_{1}(L)=c} et  S W ( M , s ) ≠ 0 {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})\not =0} .

* Si  f : M 1 → M 2 {\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}} est un difféomorphisme préservant l'orientation, alors  S W ( M 1 , f ∗ s ) = S W ( M , s ) {\displaystyle SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}})} .
* Pour chaque classe de base  c {\displaystyle c} on a  c ⋅ c ≥ 2 χ ( M ) + 3 s i g n ( M ) {\displaystyle c\cdot c\geq 2\chi (M)+3sign(M)} .
* Pour la structure duale spinc s ∗ {\displaystyle {\mathfrak {s}}^{*}} , on a  S W ( M , s ∗ ) = ( − 1 ) χ ( M ) + s i g n ( M ) 4 S W ( M , s ) {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}})} .
* M {\displaystyle M} n'a qu'un nombre fini de classes de base.
* Si  M {\displaystyle M} a une métrique de courbure scalaire positive, alors  S W ( M , s ) = 0 {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0} pour tous  s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} .
* Si  M = X ♯ Y {\displaystyle M=X\sharp Y} pour des 4-variétés  X , Y {\displaystyle X,Y} compactes, orientables et lisses avec  b 2 + > 0 {\displaystyle b_{2}^{+}>0} , alors  S W ( M , s ) = 0 {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0} pour tous  s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} .
* Si  b 1 ( X ) = b 2 + ( X ) = 0 {\displaystyle b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0} et si, pour une structure de spinc s X {\displaystyle {\mathfrak {s}}_{X}} avec  c 1 = c X {\displaystyle c_{1}=c_{X}} , on a l'inégalité  c ⋅ c − 2 χ ( M ) − 3 s i g n ( M ) + c X ⋅ c X + b 2 ( X ) ≥ 0 {\displaystyle c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0} alors  S W ( M , s ) = S W ( M ♯ X , s ♯ s X ) {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=SW(M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})} .
* Pour une surface plongée, compacte et orientable  Σ ⊂ M {\displaystyle \Sigma \subset M} du genre g ( Σ ) {\displaystyle g(\Sigma )} , on a  2 g ( Σ ) − 2 ≥ Σ ⋅ Σ + | c ⋅ Σ | {\displaystyle 2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert } pour chaque classe de base  c {\displaystyle c} .
* Si  M {\displaystyle M} est une variété symplectique avec une structure de spinc canonique  s c a n {\displaystyle {\mathfrak {s}}_{can}} , alors  S W ( M , s c a n ) = 1 {\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}_{can})=1} .

## Notes et références

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* (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Seiberg-Witten-Invariante » (voir la liste des auteurs).

## Bibliographie

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* John Douglas Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1629), 2001, 2e éd., viii + 121 (ISBN 3-540-41221-2, zbMATH 1036.57014).
* Liviu Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 28), 2000, 2e éd., xviii + 484 (ISBN 0-8218-2145-8, zbMATH 0978.57027).
* Alexandru Scorpan, The wild world of 4-manifolds, Providence, RI, American Mathematical Society, 2005, xv + 609 (ISBN 0-8218-3749-4, zbMATH 1075.57001).

## Liens externes

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* Dietmar Salamon : Spin geometry and Seiberg-Witten invariant

* Portail des mathématiques

*[(de)]: Langue : allemand
*[coll.]: collection
*[no]: numéro
*[2e]: deuxième
*[éd.]: édition