Loi log-logistique

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Log-logistique

Densité de probabilité
Pour α = 1 et β en légende

* * *

Fonction de répartition
α = 1 et β en légende

* * *

Paramètres  | α > 0 échelle
β > 0 forme
Support |  x ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in [0,\infty )}
Densité de probabilité |  ( β / α ) ( x / α ) β − 1 [ 1 + ( x / α ) β ] 2 {\displaystyle {\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left[1+(x/\alpha )^{\beta }\right]^{2}}}}
Fonction de répartition |  1 1 + ( x / α ) − β {\displaystyle {1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}}
Espérance |  α π / β sin ⁡ ( π / β ) {\displaystyle {\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}}
si β > 1, sinon pas définie
Médiane | α
Mode |  α ( β − 1 β + 1 ) 1 / β {\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}
si β > 1, 0 sinon
Variance | voir développement
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Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi log-logistique (connue aussi comme la distribution de Fisk en économie) est une loi de probabilité continue pour une variable aléatoire strictement positive. Elle est utilisée dans l'étude de la durée de vie d'événement dont l'intensité augmente d'abord pour ensuite décroître, comme pour la mortalité dû au cancer après diagnostic ou traitement. Elle est aussi utilisée en hydrologie pour modéliser le débit d'un cours d'eau ou le niveau des précipitations, et en économie pour modéliser l'inégalité des revenus.

La loi log-logistique est la loi d'une variable aléatoire dont le logarithme est distribué selon une loi logistique. Elle ressemble beaucoup à la loi log-normale, mais s'en distingue par des queues plus épaisses. Par ailleurs, sa fonction de répartition admet une expression explicite, contrairement à la log-normale.

## Caractéristiques

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Il existe différentes paramétrisations de la distribution. Celle choisie ici permet une interprétation raisonnable des paramètres et permet une expression simplifiée pour la fonction de répartition[1],[2]. Le paramètre α > 0 est un paramètre d'échelle et joue aussi le rôle de médiane de la distribution. Le paramètre β > 0 est un paramètre de forme. La distribution est unimodale lorsque β > 1 et sa dispersion décroît lorsque β augmente.

La fonction de répartition est

F ( x ; α , β ) = 1 1 + ( x / α ) − β = ( x / α ) β 1 + ( x / α ) β = x β α β + x β {\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\\&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\\&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}

où  x > 0 {\displaystyle x>0} , α > 0, β > 0\.

La densité de probabilité est

f ( x ; α , β ) = ( β / α ) ( x / α ) β − 1 [ 1 + ( x / α ) β ] 2 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left[1+(x/\alpha )^{\beta }\right]^{2}}}} .

## Propriétés

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### Moments

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Le  k {\displaystyle k} -ième moment existe seulement quand  k < β , {\displaystyle k<\beta ,} et se donne alors par[3],[4]

E ⁡ ( X k ) = α k B ⁡ ( 1 − k / β , 1 + k / β ) = α k k π / β sin ⁡ ( k π / β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\,\operatorname {B} (1-k/\beta ,\,1+k/\beta )\\\&=\alpha ^{k}\,{k\,\pi /\beta \over \sin(k\,\pi /\beta )}\end{aligned}}}

où B est la fonction bêta. L'expression pour les espérance, variance, coefficient d'asymétrie et coefficient d’aplatissement (kurtosis) se tirent de l'expression précédente. En posant  b = π / β , {\displaystyle b=\pi /\beta ,} la moyenne prend la forme

E ⁡ ( X ) = α b / sin ⁡ b , β > 1 {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1}

et la variance devient

Var ⁡ ( X ) = α 2 ( 2 b / sin ⁡ 2 b − b 2 / sin 2 ⁡ b ) , β > 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2} .

Les expressions explicites de la kurtosis et du skewness sont plus longues à reproduire[5]. Lorsque β tend vers l'infini, la moyenne (espérance) tend vers α, la variance et le skewness tendent tous deux vers 0 et la kurtosis tend vers 6/5 (voir aussi #Distributions associées ci-dessous).

### Quantiles

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L'inverse de la fonction de répartition est donnée par :

F − 1 ( p ; α , β ) = α ( p 1 − p ) 1 / β {\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }} .

Il s'ensuit que la médiane est α, le premier quartile est  3 1 / β α {\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha } et le dernier quartile est  3 − 1 / β α {\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha } .

## Applications

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### Analyse de survie

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Fonction de risque pour  α = 1 {\displaystyle \alpha =1} et β en légende

La distribution log-logistique procure un modèle paramétrique pour l'analyse de survie (durée de vie). Contrairement à l'habituelle distribution de Weibull, cette densité permet une fonction de risque (défaillance) non monotone : lorsque β > 1, la fonction de risque est unimodale (lorsque β ≤ 1, le risque décroît de manière monotone). Le fait de disposer d'une expression explicite pour la fonction de répartition est un avantage pour l'analyse de survie avec des données tronquées (ou censurées)[6].

La fonction de survie est donnée par :

S ( t ) = 1 − F ( t ) = [ 1 + ( t α ) β ] − 1 {\displaystyle S(t)=1-F(t)=\left[1+\left({\frac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]^{-1}}

la fonction de risque :

h ( t ) = f ( t ) S ( t ) = β α ( t α ) β − 1 1 + ( t α ) β {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {{\dfrac {\beta }{\alpha }}\left({\dfrac {t}{\alpha }}\right)^{\beta -1}}{1+\left({\dfrac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }}}}

et la fonction de risque cumulé :

H ( t ) = − log ⁡ ( S ( t ) ) = log ⁡ [ 1 + ( t α ) β ] {\displaystyle H(t)=-\log(S(t))=\log \left[1+\left({\frac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]}

### Hydrologie

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La distribution log-logistique a permis de modéliser le débit des cours d'eau ou encore les précipitations.

### Économie

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La distribution log-logistique permet en sciences économiques de modéliser simplement les inégalités de revenu, souvent sous la dénomination de « distribution de Fisk »[7]. Son coefficient de Gini est  1 / β {\displaystyle 1/\beta } [8].

## Distributions associées

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* Si X a une distribution log-logistique avec pour paramètre d'échelle α et pour paramètre de forme β alors Y = log(X) est distribué selon une loi logistique, avec pour paramètre de position log(α) et pour paramètre d'échelle 1/β.
* Lorsque le paramètre de forme β augmente, la distribution log-logistique s'approche de plus en plus d'une distribution logistique. Ou, de manière informelle, lorsque  β -> ∞ {\displaystyle \beta \to \infty } ,

L L ( α , β ) -> L ( α , α / β ) {\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )} .
* La distribution log-logistique LL(β = 1, α) est identique à une distribution de Pareto généralisée, de paramètre de position  μ = 0 {\displaystyle \mu =0} , de paramètre de forme  ξ = 1 {\displaystyle \xi =1} et de paramètre d'échelle α :

L L ( α , 1 ) = G P D ( 1 , α , 1 ) {\displaystyle LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1)} .

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## Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Log-logistic distribution » (voir la liste des auteurs).

1. ↑ (en) M. M. Shoukri, I. U. M. Mian et D. S. Tracy, « Sampling Properties of Estimators of the Log-Logistic Distribution with Application to Canadian Precipitation Data », The Canadian Journal of Statistics, vol. 16, no 3, 1988, p. 223-236 (JSTOR 3314729).
2. ↑ (en) Fahim Ashkar et Smail Mahdi, « Fitting the log-logistic distribution by generalized moments », Journal of Hydrology, vol. 328, 2006, p. 694-703 (DOI 10.1016/j.jhydrol.2006.01.014).
3. ↑ (en) Pandu R. Tadikamalla et Norman L. Johnson, « Systems of Frequency Curves Generated by Transformations of Logistic Variables », Biometrika, vol. 69, no 2, 1982, p. 461-465 (JSTOR 2335422).
4. ↑ (en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, no 3, 1980, p. 337-344 (JSTOR 1402945).
5. ↑ (en) Michael P. McLaughlin, « A Compendium of Common Probability Distributions », 2001 (consulté le 15 février 2008), A-37.
6. ↑ (en) Steve Bennett, « Log-Logistic Regression Models for Survival Data », Applied Statistics, vol. 32, no 2, 1983, p. 165-171 (JSTOR 2347295).
7. ↑ (en) P. R. Fisk, « The Graduation of Income Distributions », Econometrica, vol. 29, 1961, p. 171-185 (JSTOR 1909287).
8. ↑ (en) C. Kleiber et S. Kotz, Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Hoboken, Wiley, 2003, 352 p. (ISBN 978-0-471-15064-0).

v · m

Lois de probabilité (liste)

Lois discrètes |  | à support fini |  | 0 paramètre de forme |

* Dirac
* Rademacher

|

1 paramètre de forme |

* Benford
* Bernoulli
* uniforme discrète

2 paramètres de forme |

* binomiale
* Zipf

3 paramètres de forme |

* bêta-binomiale
* hypergéométrique

N paramètres de forme |

* multinomiale
* Poisson binomiale

à support infini |  | 0 paramètre de forme |

* Gauss-Kuzmin

|

1 paramètre de forme |

* géométrique
* logarithmique
* Poisson
* Yule-Simon
* zêta

2 paramètres de forme |

* binomiale négative
* Conway-Maxwell-Poisson
* Skellam

3 paramètres de forme |

* bêta-binomiale négative
* binomiale négative étendue
* Delaporte

Lois absolument continues |  | à support compact |  | 0 paramètre de forme |

* arc sinus
* cosinus surélevé
* demi-cercle
* parabolique
* uniforme continue
* Xenakis

|

1 paramètre de forme |

* Bates
* Irwin-Hall
* triangulaire
* Kesten-McKay

2 paramètres de forme |

* bêta
* Kumaraswamy
* logit-normale

3 paramètres de forme |

* bêta décentrée
* bêta rectangulaire
* bêta PERT

à support semi-infini |  | 0 paramètre de forme |

* demi-logistique
* demi-normale
* exponentielle
* Lévy
* normale repliée
* Rayleigh

|

1 paramètre de forme |

* χ
* χ²
* Davis
* Erlang
* Fréchet
* Gamma
* Gompertz avec dérive
* inverse-χ²
* inverse-gamma
* inverse-gaussienne
* log-Cauchy
* log-Laplace
* log-logistique
* log-normale
* Nakagami
* normale généralisée v2
* Pareto
* Rice
* Weibull

2 paramètres de forme |

* χ non centrée
* χ² non centrée
* Benktander I
* Benktander II
* bêta prime
* Burr
* Dagum
* Fisher
* Gamma généralisée
* inverse-gaussienne généralisée
* normale tronquée

3 paramètres de forme |

* bêta prime généralisée

N paramètres de forme |

* hyper-exponentielle
* hypo-exponentielle

à support infini |  | 0 paramètre de forme |

* Cauchy
* Gumbel
* Holtsmark
* Landau
* Laplace
* logistique
* normale
* sécante hyperbolique
* Slash
* Voigt

|

1 paramètre de forme |

* Gompertz
* normale asymétrique
* normale généralisée v1
* Student

2 paramètres de forme |

* géométrique stable
* stable
* z de Fisher

Autres types de lois |  | Lois à support mixte continu-discret |

* normale rectifiée

|

Lois à support variable |

* Tukey-lambda

Lois multidimensionnelles |  | Discrètes |

* Ewens (en)
* multinomiale

|

Continues |

* Dirichlet
* normale multidimensionnelle

Matricielles |

* Wishart
* Wishart inverse

Lois directionnelles |  | Univariantes |

* von Mises

|

Sphériques bidimensionnelles |

* Kent

Toroïdales bidimensionnelles |

* Von Mises bivariante

Multidimensionnelles |

* Bingham

Lois singulières |

* Cantor

Familles de lois |  |

* Circulaire (en)
* Poisson composé
* elliptique (en)
* exponentielle
* exponentielle naturelle (en)
* d'entropie maximale
* de Pearson
* de Burr
* de Johnson
* fractale parabolique
* tronquée
* enveloppée

* Portail des probabilités et de la statistique

*[(en)]: Langue : anglais
*[vol.]: volume
*[no]: numéro
*[p.]: pages
*[v]: Voir ce modèle.
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