Matrices anticirculantes

En mathématiques, les matrices anticirculantes sont un cas particulier de matrices de Hankel ou de Toeplitz. Le mot peut désigner plusieurs types de matrices.

## Anticirculantes standard

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Une matrice anticirculante standard de taille n à coefficients complexes est de la forme générale[1] :

C = ( c 0 c 1 c 2 … … c n − 1 c 1 c n − 2 c n − 1 c 0 c 2 c n − 2 c n − 1 c 0 c 1 … … … … … … … … … c n − 1 c 0 c 1 c 2 … c n − 2 ) {\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &c_{n-1}\\\c_{1}&&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}\\\c_{2}&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&c_{1}\\\\\dots &&&\dots &\dots \\\\\dots &&&\dots &\dots \\\\\dots &&&\dots &\dots \\\c_{n-1}&c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{n-2}\end{pmatrix}}}

où les coefficients ci sont des complexes. La valeur des coefficients demeure constante sur les diagonales secondaires de la matrice et leur somme en ligne, comme celle en colonne demeure constante[2].

## Anticirculantes de Hankel

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Une autre définition donne les matrices anticirculantes de Hankel (g-circulant ou H-skew-circulant) en opposition aux matrices circulantes de Hankel (ou f-circulant), comme les matrices de Hankel « antisymétriques » par rapport à la seconde diagonale de la matrice.

Elles sont de la forme :

C = ( c 0 c 1 c 2 … … 0 c 1 c n − 2 0 − c n − 2 c 2 c n − 2 0 − c n − 2 − c n − 3 … … … … … … … … − c 1 0 − c n − 2 − c n − 3 … − c 1 − c 0 ) . {\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &0\\\c_{1}&&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}\\\c_{2}&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}&-c_{n-3}\\\\\dots &&&\dots &\dots \\\\\dots &&&\dots &\dots \\\\\dots &&&\dots &&-c_{1}\\\0&-c_{n-2}&-c_{n-3}&\dots &-c_{1}&-c_{0}\end{pmatrix}}.}

On montre que toute matrice de Hankel est somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante[3].

## Anticirculante de Toeplitz

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On appelle parfois matrices anticirculantes de Toeplitz, les matrices de la forme[4] :

C = ( c 0 − c 1 − c 2 … − c n − 1 c n − 1 c 0 − c 1 − c n − 2 c n − 2 c n − 1 c 0 − c n − 3 ⋮ ⋱ ⋮ c 1 c 2 c 3 … c 0 ) . {\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\dots &-c_{n-1}\\\c_{n-1}&c_{0}&-c_{1}&&-c_{n-2}\\\c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&&-c_{n-3}\\\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}}.}

Elles sont également appelées matrices circulantes gauche (skew en anglais) et entrent dans la décomposition des matrices de Toeplitz[5].

## Quelques propriétés des anticirculantes de type standard

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Elles forment un sous-espace vectoriel de l'espace des carrés magiques.

Elles ne forment pas une sous-algèbre de l'algèbre des matrices carrées de taille n.

Elles sont diagonalisables dans ℂ (voir matrice de Hankel).

Cas particulier de la dimension 3

On montre que tout carré magique s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.

Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.

## Notes et références

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1. ↑ (en) Ivan Oseledets, « Optimal Karatsuba-like formulae for certain bilinear forms in GF(2) », Linear Algebra Appl., vol. 429, no 8,‎ 2008, p. 2052-2066, p. 17 du preprint
2. ↑ (es) Circulantes Matriciales, sur le site Matemáticas y Poesía
3. ↑ (en) Vadim Olshevsky, Fast Algorithms for Structured Matrices : Theory and Applications, AMS, 2001 (ISBN 978-0-8218-1921-0, lire en ligne)
4. ↑ (en) Dario Bini et Victor Pan, Polynomial and matrix computations, vol. 1, Birkhäuser, 1994, 415 p. (ISBN 978-3-7643-3786-5)
5. ↑ (en) Raymond Chang et Michael K. Ng, « Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems », SIAM Rev., vol. 38, no 3,‎ 1996, p. 427-482 (lire en ligne)

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*[(en)]: Langue : anglais
*[vol.]: volume
*[no]: numéro
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*[(es)]: Langue : espagnol