Nombre taxicab

Srinivasa Ramanujan à l'origine de l'idée des nombres taxicab.

En mathématiques, le nième nombre taxicab, ou nombre de Hardy–Ramanujan, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1938[1] que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment construire le plus petit.

## Histoire

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Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XXe siècle, rapporte l'anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[2] :

> « Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
> — Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

En effet,  9 3 + 10 3 = 1 3 + 12 3 = 1729 {\displaystyle 9^{3}+10^{3}=1^{3}+12^{3}=1729} . Et Hardy conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes) qu'il « donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels »[3].

Pour cette raison, on définit parfois un nombre taxicab comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes. D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :

4104 = 2 3 + 16 3 = 9 3 + 15 3 20683 = 10 3 + 27 3 = 19 3 + 24 3 39312 = 2 3 + 34 3 = 15 3 + 33 3 40033 = 9 3 + 34 3 = 16 3 + 33 3 {\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}4104&=&2^{3}&+&16^{3}&=&9^{3}&+&15^{3}\\\20683&=&10^{3}&+&27^{3}&=&19^{3}&+&24^{3}\\\39312&=&2^{3}&+&34^{3}&=&15^{3}&+&33^{3}\\\40033&=&9^{3}&+&34^{3}&=&16^{3}&+&33^{3}\end{array}}}

Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657, et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé :  158 4 + 59 4 = 133 4 + 134 4 = 635318657. {\displaystyle 158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}=635318657.}
Il existe une variante du nombre taxicab : un nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs.

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657[4]. Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs ; John Leech obtint Ta(3) en 1957[5],[4], E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991[6],[4] et David W. Wilson trouva Ta(5) en 1999[7],[4].

Ta(6)[8],[9] fut confirmé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list en 2008[10].

## Nombres taxicab connus

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Le premier nombre taxicab correspond au plus petit entier décomposable en une unique somme de deux cubes entiers positifs non nuls, à l'ordre des opérandes près. Il s'agit de l'entier 2, représenté par l'équation diophantienne[11],[4] :

Ta ⁡ ( 1 ) = 2 = 1 3 + 1 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}

Les cinq nombres taxicab suivants sont[4] :

Ta ⁡ ( 2 ) = 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}

Ta ⁡ ( 3 ) = 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\\&=228^{3}+423^{3}\\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}

Ta ⁡ ( 4 ) = 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\\&=5436^{3}+18948^{3}\\\&=10200^{3}+18072^{3}\\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}

Ta ⁡ ( 5 ) = 48988659276962496 = 38787 3 + 365757 3 = 107839 3 + 362753 3 = 205292 3 + 342952 3 = 221424 3 + 336588 3 = 231518 3 + 331954 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\\&=107839^{3}+362753^{3}\\\&=205292^{3}+342952^{3}\\\&=221424^{3}+336588^{3}\\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}

Ta ⁡ ( 6 ) = 24153319581254312065344 = 582162 3 + 28906206 3 = 3064173 3 + 28894803 3 = 8519281 3 + 28657487 3 = 16218068 3 + 27093208 3 = 17492496 3 + 26590452 3 = 18289922 3 + 26224366 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}

## Majorants de nombres taxicab

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De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab. L'entier  Ta ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Ta} (n)} est le plus petit qui est somme de deux cubes de  n {\displaystyle n} façons différentes. Si on trouve un entier  m {\displaystyle m} qui est somme de deux cubes de  n {\displaystyle n} façons différentes, on a donc  Ta ⁡ ( n ) ≤ m {\displaystyle \operatorname {Ta} (n)\leq m} . Les bornes supérieures suivantes ont ainsi été découvertes en 2008[12] :

Ta ⁡ ( 7 ) ≤ 24885189317885898975235988544 = 2648660966 3 + 1847282122 3 = 2685635652 3 + 1766742096 3 = 2736414008 3 + 1638024868 3 = 2894406187 3 + 860447381 3 = 2915734948 3 + 459531128 3 = 2918375103 3 + 309481473 3 = 2919526806 3 + 58798362 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\\&=&2685635652^{3}+1766742096^{3}\\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\\&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\\&=&2918375103^{3}+309481473^{3}\\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}}

Ta ⁡ ( 8 ) ≤ 50974398750539071400590819921724352 = 299512063576 3 + 288873662876 3 = 336379942682 3 + 234604829494 3 = 341075727804 3 + 224376246192 3 = 347524579016 3 + 208029158236 3 = 367589585749 3 + 109276817387 3 = 370298338396 3 + 58360453256 3 = 370633638081 3 + 39304147071 3 = 370779904362 3 + 7467391974 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\\&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\\&=&336379942682^{3}+234604829494^{3}\\\&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\\&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\\&=&370298338396^{3}+58360453256^{3}\\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}}

Ta ⁡ ( 9 ) ≤ 136897813798023990395783317207361432493888 = 41632176837064 3 + 40153439139764 3 = 46756812032798 3 + 32610071299666 3 = 47409526164756 3 + 31188298220688 3 = 48305916483224 3 + 28916052994804 3 = 51094952419111 3 + 15189477616793 3 = 51471469037044 3 + 8112103002584 3 = 51518075693259 3 + 5463276442869 3 = 51530042142656 3 + 4076877805588 3 = 51538406706318 3 + 1037967484386 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\\&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\\&=&51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\\&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\\&=&51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}}

Ta ⁡ ( 10 ) ≤ 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 3 + 15137846555691028 3 = 17627318136364846 3 + 12293996879974082 3 = 17873391364113012 3 + 11757988429199376 3 = 18211330514175448 3 + 10901351979041108 3 = 19262797062004847 3 + 5726433061530961 3 = 19404743826965588 3 + 3058262831974168 3 = 19422314536358643 3 + 2059655218961613 3 = 19426825887781312 3 + 1536982932706676 3 = 19429379778270560 3 + 904069333568884 3 = 19429979328281886 3 + 391313741613522 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\\&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\\&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\\&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\\&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\\&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}}
Ta ⁡ ( 11 ) ≤ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = 11410505395325664056 3 + 11005214445987377356 3 = 12815060285137243042 3 + 8937735731741157614 3 = 12993955521710159724 3 + 8548057588027946352 3 = 13239637283805550696 3 + 7925282888762885516 3 = 13600192974314732786 3 + 6716379921779399326 3 = 14004053464077523769 3 + 4163116835733008647 3 = 14107248762203982476 3 + 2223357078845220136 3 = 14120022667932733461 3 + 1497369344185092651 3 = 14123302420417013824 3 + 1117386592077753452 3 = 14125159098802697120 3 + 657258405504578668 3 = 14125594971660931122 3 + 284485090153030494 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\\&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\\&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}}

Ta ⁡ ( 12 ) ≤ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = 33900611529512547910376 3 + 32696492119028498124676 3 = 38073544107142749077782 3 + 26554012859002979271194 3 = 38605041855000884540004 3 + 25396279094031028611792 3 = 39334962370186291117816 3 + 23546015462514532868036 3 = 40406173326689071107206 3 + 19954364747606595397546 3 = 41606042841774323117699 3 + 12368620118962768690237 3 = 41912636072508031936196 3 + 6605593881249149024056 3 = 41950587346428151112631 3 + 4448684321573910266121 3 = 41960331491058948071104 3 + 3319755565063005505892 3 = 41965847682542813143520 3 + 1952714722754103222628 3 = 41965889731136229476526 3 + 1933097542618122241026 3 = 41967142660804626363462 3 + 845205202844653597674 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\\&=&41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\\&=&41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{matrix}}}

Des bornes supérieures de  Ta ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Ta} (n)} ont également été trouvées pour tous les entiers  n {\displaystyle n} compris entre 13 et 22[13]. On a ainsi :

Ta ⁡ ( 13 ) ≤ 10 65 {\displaystyle \operatorname {Ta} (13)\leq 10^{65}}
Ta ⁡ ( 14 ) ≤ 10 73 {\displaystyle \operatorname {Ta} (14)\leq 10^{73}}
Ta ⁡ ( 15 ) ≤ 10 81 {\displaystyle \operatorname {Ta} (15)\leq 10^{81}}
Ta ⁡ ( 16 ) ≤ 10 91 {\displaystyle \operatorname {Ta} (16)\leq 10^{91}}
Ta ⁡ ( 17 ) ≤ 10 102 {\displaystyle \operatorname {Ta} (17)\leq 10^{102}}
Ta ⁡ ( 18 ) ≤ 10 113 {\displaystyle \operatorname {Ta} (18)\leq 10^{113}}
Ta ⁡ ( 19 ) ≤ 10 123 {\displaystyle \operatorname {Ta} (19)\leq 10^{123}}
Ta ⁡ ( 20 ) ≤ 10 133 {\displaystyle \operatorname {Ta} (20)\leq 10^{133}}
Ta ⁡ ( 21 ) ≤ 10 147 {\displaystyle \operatorname {Ta} (21)\leq 10^{147}}
Ta ⁡ ( 22 ) ≤ 10 160 {\displaystyle \operatorname {Ta} (22)\leq 10^{160}}

## Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Taxicab number » (voir la liste des auteurs).

1. ↑ (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], Thm. 412.
2. ↑ (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Quotations by G H Hardy », sur MacTutor, université de St Andrews..
3. ↑ (en) G. H. Hardy, « Obituary Notices: Srinivasa Ramanujan », Proc. London Math. Soc., vol. 19, 1921, xl-lviii (lire en ligne) (p. lvii).
4. ↑ a b c d e et f (en) G. Everest et Thomas Ward, An Introduction to Number Theory, Londres, Springer Science+Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2005, 294 p. (ISBN 978-1-85233-917-3 et 1852339179, lire en ligne), p. 117-118.
5. ↑ (en) J. Leech, « Some Solutions of Diophantine Equations », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 53, 1957, p. 778-780.
6. ↑ (en) E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel, « The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 \+ y3 = z3 \+ w3 = u3 \+ v3 = m3 \+ n3 », Bull. Inst. Math. Appl., vol. 27, no 7, 1991, p. 155-157 (MR 92i:11134, lire en ligne, consulté le 14 décembre 2009).
7. ↑ (en) David W. Wilson, « The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496 », Journal of Integer Sequences, vol. 2, 1999 (lire en ligne).
8. ↑ Message électronique de Randall L. Rathbun en 2002.
9. ↑ (en) C. S. Calude, E. Calude et M. J. Dinneen, « What is the value of Taxicab(6)? », Journal of Universal Computer Science, vol. 9, 2003, p. 1196-1203.
10. ↑ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10).
11. ↑ Marc Laforest et André Ross, « Srinivâsâ Râmânujan », sur Accromαth, Institut des sciences mathématiques (université du Québec à Montréal), 2012 (consulté le 10 janvier 2019).
12. ↑ (en) Christian Boyer, « New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 11, 2008, article no 08.1.6 (lire en ligne).
13. ↑ (en) « New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers », 24 mars 2011 (consulté le 29 mars 2017).

## Voir aussi

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### Bibliographie

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* (en) D. J. Bernstein, « Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) », Math. Comp., vol. 70, no 233, 2001, p. 389-394 (DOI 10.1090/S0025-5718-00-01219-9)

### Articles connexes

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* Nombre cabtaxi
* Nombre taxicab généralisé
* Équation diophantienne
* Conjecture d'Euler
* Conjecture de Beal
* Équation de Jacobi-Madden (en)
* Problème de Prouhet-Tarry-Escott
* Quadruplet pythagoricien (en)
* Sommes de puissances (en)

### Liens externes

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*   *   *   * Suite  A011541 de l'OEIS
* (en) Christian Boyer, « New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers », 2011

* Arithmétique et théorie des nombres

*[XXe]: 20ᵉ siècle
*[(en)]: Langue : anglais
*[1re]: première
*[éd.]: édition
*[vol.]: volume
*[p.]: pages
*[coll.]: collection
*[no]: numéro