Partie imaginaire

Symbole I en écriture Fraktur. Une illustration du plan complexe. La partie imaginaire d'un nombre complexe  z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} est  y {\displaystyle y} .

En mathématiques, la partie imaginaire d’un nombre complexe z {\displaystyle z} qui s'écrit sous la forme  z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} (où  x {\displaystyle x} et  y {\displaystyle y} sont des réels) est  y {\displaystyle y} . Autrement dit, si le nombre complexe  z {\displaystyle z} a pour image le point de coordonnées  ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} dans le plan, alors sa partie imaginaire est  y {\displaystyle y} . Il s'agit d'un nombre réel.

La partie imaginaire est notée Im{z} ou  ℑ {\displaystyle \Im } {z}, où  ℑ {\displaystyle \Im } est un I capital en caractères Fraktur.

En utilisant la notion de conjugué z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} d'un nombre complexe  z {\displaystyle z} , la partie imaginaire de  z {\displaystyle z} est égale à  z − z ¯ 2 i {\displaystyle z-{\bar {z}} \over 2i} .

Pour un nombre complexe sous forme polaire,  z = ( r , θ ) {\displaystyle z=(r,\theta )} , les coordonnées cartésiennes (algébriques) sont  z = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )} , ou de façon équivalente,  z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )} . Il découle de la formule d'Euler que  z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} , et donc que la partie imaginaire de  r e i θ {\displaystyle re^{i\theta }} est  r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta } .

## Voir aussi

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* Partie réelle
* Nombre complexe
* Nombre réel

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