Système intégrable

En mécanique hamiltonienne, un système intégrable au sens de Liouville est un système qui possède un nombre suffisant de constantes du mouvement (en) indépendantes. Lorsque le mouvement est borné, la dynamique est alors périodique ou quasi périodique.

## Définition

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### Rappels de mécanique hamiltonienne

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Soit un système à N degrés de liberté qui est décrit à l'instant  t {\displaystyle t} par :

* les N coordonnées généralisées  { q i ( t ) } i = 1 , … , N {\displaystyle \\{q_{i}(t)\\}_{i=1,\dots ,N}}
* les N moments conjugués  { p j ( t ) } j = 1 , … , N {\displaystyle \\{p_{j}(t)\\}_{j=1,\dots ,N}} .

À chaque instant, les 2N coordonnées  ( q i ( t ) , p j ( t ) ) {\displaystyle (q_{i}(t),p_{j}(t))} définissent un point dans l'espace des phases Γ = ℝ2N. L'évolution dynamique du système sous le flot hamiltonien se traduit par une courbe continue appelée orbite dans cet espace des phases. Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps satisfait toujours à la conservation de l'énergie :

H ( q i ( t ) , p j ( t ) )   =   E {\displaystyle \quad H(q_{i}(t),p_{j}(t))\ =\ E}

de telle sorte que sa dynamique est en fait restreinte à une hypersurface SE⊂Γ à 2N-1 dimensions.

### Critère d'indépendance des constantes du mouvement

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Considérons un système hamiltonien invariant par translation dans le temps qui possède N constantes du mouvement en comprenant l'énergie. Soient {Fi}{i=1,…,N} ces N constantes du mouvement. Pour que le système soit intégrable au sens de Liouville, ces constantes doivent être en involution, c’est-à-dire que leurs crochets de Poisson vérifient :

∀   ( i , j )   , { F i ,   F j }   =   0 {\displaystyle \forall \ (i,j)\ ,\qquad \left\\{F_{i},\ F_{j}\right\\}\ =\ 0}

### Propriétés d'un système intégrable

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Lorsque le mouvement est borné, on peut trouver une transformation canonique des 2N variables originales (qi,pj) vers 2N nouvelles variables constantes du mouvement « actions-angles » (Ii,θj) l'Hamiltonien ne dépend plus que des N variables d'action : Ii. C'est le théorème d'Arnold-Liouville-Mineur. Dans les coordonnées action-angle, on a :

H ( q i ( t ) , p j ( t ) )   =   H ~ ( I , t )   =   E {\displaystyle H(q_{i}(t),p_{j}(t))\ =\ {\tilde {H}}(I,t)\ =\ E}

Dans ce cas, les équations canoniques de Hamilton pour les actions deviennent :

d I i d t   =   −   ∂ H ~ ∂ θ i   =   0 {\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}\ =\ -\ {\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial \theta ^{i}}}\ =\ 0}

donc les actions I sont toutes des constantes. Par ailleurs, on a également les équations canoniques de Hamilton pour les angles :

d θ j ( t ) d t   =   ∂ H ~ ∂ I j   =   ω j ( I i ) {\displaystyle {\frac {d\theta ^{j}(t)}{dt}}\ =\ {\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial I_{j}}}\ =\ \omega ^{j}(I_{i})}

Les vitesses angulaires sont donc indépendantes du temps[1], de telle sorte que les angles augmentent linéairement avec le temps, et le mouvement est alors quasi périodique :

θ j ( t )   =   ω j ( I i )   t   +   θ j ( 0 ) {\displaystyle \theta ^{j}(t)\ =\ \omega ^{j}(I_{i})\ t\ +\ \theta ^{j}(0)}

Ainsi, lorsque le mouvement est borné, la dynamique d'un système intégrable est-elle restreinte à un tore invariant TN⊂Γ à N dimensions dans l'espace des phases, au lieu d'explorer toute l'hypersurface d'énergie SE a priori accessible. Ce tore invariant est caractérisé par la valeurs des N actions, et l'espace de phases Γ est ainsi localement feuilleté par ces tores invariants, correspondants aux différentes valeurs possibles des actions.

## Note

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1. ↑ Par contre, les vitesses angulaires dépendent en général des valeurs des actions.

## Voir aussi

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### Articles connexes

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* Conditions d'intégrabilité pour les systèmes différentiels (en)
* Hypothèse ergodique
* Intégrateur symplectique
* Mécanique hamiltonienne
* Théorème de Frobenius (géométrie différentielle)
* Théorème KAM

### Bibliographie

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* Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]
* T. W. B. Kibble et F.H. Berkshire ; Classical Mechanics, Prentice Hall, 4e éd., 1997 (ISBN 058225972X)

Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements Newtoniens jusqu'au formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de physique théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette 4e édition (avec un coauteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)

* Herbert Goldstein, Charles P. Poole et John L. Safko, Classical mechanics, Addison-Wesley, 3e éd., 2001

Cet ouvrage de Goldstein est une référence absolue concernant les aspects théoriques modernes de la mécanique - formulations Lagrangienne et Hamiltonienne. Cette troisième édition, réalisée en collaboration, est complétée par un chapitre (chap. 10) sur les développements récents de la théorie du chaos. Le chapitre 3, consacré au problème à 3 corps, a été également partiellement remanié. Niveau second cycle universitaire. (Il a existé autrefois une traduction française d'une édition précédente.)

* Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 2e éd., 1989 (ISBN 0-387-96890-3)

Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien et Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.

* Vladimir I. Arnold, V. V. Kozlov et A. I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag, 2e éd., 1993
* Vladimir I. Arnold et André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley, 1989 (ASIN 0201094061)
* R. Abraham et J. E. Marsden, Foundations of mechanics, the Benjamin/Cummings Publishing Company, 2e éd., 1978

Un livre imposant qui présente un exposé axiomatique rigoureux de la mécanique «  à la Bourbaki », à réserver aux esprits matheux. Niveau second cycle universitaire minimum.

* Portail de la physique

*[t.]: tome
*[4e]: Quatrième
*[3e]: Troisième
*[2e]: Deuxième