Algebra (teoria degli anelli)

In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un'algebra su di un anello commutativo è una generalizzazione del concetto di algebra su campo in cui il campo è rimpiazzato da un anello commutativo.

## Definizione

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Sia  R {\displaystyle R} un anello commutativo. Una  R {\displaystyle R} -algebra è un  R {\displaystyle R} -modulo A {\displaystyle A} con un'operazione binaria  [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} :

[ ⋅ , ⋅ ] : A × A -> A {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A}

detta  A {\displaystyle A} -moltiplicazione, che soddisfa il seguente assioma di bilinearità:

[ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]\qquad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}

per ogni scelta di scalari  a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} e di elementi  x , y , z ∈ A {\displaystyle x,y,z\in A} .

## Algebre associative

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Se  A {\displaystyle A} è un monoide rispetto alla  A {\displaystyle A} -moltiplicazione (è associativo e possiede l'identità), allora la  R {\displaystyle R} -algebra è un'algebra associativa. Si tratta di un omomorfismo  f : R -> A {\displaystyle f:R\to A} tale per cui l'immagine di  f {\displaystyle f} è contenuta nel centro di  A {\displaystyle A} .

## Bibliografia

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* Serge Lang (2002): Algebra, 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95385-X. Chap. IV, VI

## Voci correlate

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* Algebra su campo
* Algebra abeliana
* Coalgebra
* algebra di Lie
* Semianello

## Collegamenti esterni

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* (EN) Unital associative algebras in PlanetMath

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*[EN]: inglese