Capacità (matematica)

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Una capacità, detta anche probabilità non additiva, è una funzione di insieme ν {\displaystyle \nu } definita su un'algebra A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} di sottoinsiemi di un insieme  X {\displaystyle X} che gode delle seguenti proprietà:

* L'insieme vuoto ha misura nulla:

ν ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \nu (\varnothing )=0} .

* Monotonia: Se E1 ed E2 appartengono ad  A {\displaystyle {\mathfrak {A}}}

E 1 ⊆ E 2 ⟹ ν ( E 1 ) ≤ ν ( E 2 ) {\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}~\Longrightarrow ~\nu (E_{1})\leq \nu (E_{2})}

Infine deve soddisfare la seguente proprietà:

ν ( X ) = 1 {\displaystyle \nu (X)=1} .

A differenza della misura di probabilità non è richiesta l'additività.

## Proprietà di una capacità

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Poiché non è richiesta l'additività, la seguente proprietà

ν ( A ∩ B ) + ν ( A ∪ B ) = ν ( A ) + ν ( B ) {\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}

per  A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}} , generalmente non è soddisfatta in senso stretto. Infatti si dice che una capacità è concava se

ν ( A ∩ B ) + ν ( A ∪ B ) ≤ ν ( A ) + ν ( B ) {\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\leq \nu (A)+\nu (B)}

o che è convessa se

ν ( A ∩ B ) + ν ( A ∪ B ) ≥ ν ( A ) + ν ( B ) {\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\geq \nu (A)+\nu (B)}

## Ambiti di applicazione

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Le capacità sono usate nell'integrale di Choquet e nella teoria delle decisioni dove costituiscono la base del modello di Schmeidler.

## Altri progetti

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Altri progetti

* Wikizionario

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