Corpo (matematica)

Questa voce o sezione  sull'argomento algebra non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

* * *

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti.

In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con  + {\displaystyle +} e  ∗ {\displaystyle *} , che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

## Definizione

[modifica | modifica wikitesto]

Un corpo è un insieme  K {\displaystyle K} , non vuoto e non ridotto ad un unico elemento, dotato di due operazioni binarie interne + {\displaystyle +} e  ∗ {\displaystyle *} che soddisfa i seguenti assiomi:

( K , + ) {\displaystyle (K,+)} è un gruppo abeliano con elemento neutro  0 {\displaystyle 0} :

* ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
* a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
* 0 + a = a + 0 = a {\displaystyle 0+a=a+0=a}
* per ogni  a {\displaystyle a} esiste un elemento  − a {\displaystyle -a} tale che  a + ( − a ) = 0 {\displaystyle a+(-a)=0}

( K ∗ , ∗ ) {\displaystyle (K^{*},*)} è un gruppo con elemento neutro  1 {\displaystyle 1} :

* a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}
* 1 ∗ a = a ∗ 1 = a {\displaystyle 1*a=a*1=a}
* per ogni  a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} esiste un elemento  a − 1 {\displaystyle a^{-1}} tale che  a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = 1 {\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=1}

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

* a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}
* ( a + b ) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c {\displaystyle (a+b)*c=a*c+b*c}

(le relazioni devono valere per ogni  a , b {\displaystyle a,b} e  c {\displaystyle c} in  K {\displaystyle K} )

Nella definizione,  K ∗ = K ∖ { 0 } {\displaystyle K^{*}=K\setminus \\{0\\}} quindi necessariamente  1 ≠ 0 {\displaystyle 1\neq 0} .

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

## Esempi

[modifica | modifica wikitesto]

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi  Q , R , C {\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme  H {\displaystyle \mathbb {H} } dei quaternioni è un corpo, ma non è un campo, infatti il prodotto tra quaternioni non è commutativo.

## Proprietà

[modifica | modifica wikitesto]

### Equazioni

[modifica | modifica wikitesto]

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

a ∗ x = b {\displaystyle a*x=b} ,  x ∗ a = b , {\displaystyle x*a=b,}

per ogni  a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} con  a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}

## Bibliografia

[modifica | modifica wikitesto]

* (EN) P.M. Cohn, Skew fields. Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 57, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-43217-0.

## Voci correlate

[modifica | modifica wikitesto]

* Anello (algebra)
* Campo (matematica)

## Collegamenti esterni

[modifica | modifica wikitesto]

*   * (EN) division ring, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
* (EN) Eric W. Weisstein, Division Ring, su MathWorld, Wolfram Research.
* (EN) Corpo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M

Algebra

Numeri| Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici|
Principi fondamentali| Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare| Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio| Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri| | Primi| Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica

|

Divisori| Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore
Aritmetica modulare| Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi| | Gruppi| Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato

|

Teoremi| Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti
Sottoinsiemi| Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione
Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli| Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi| | Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius

Estensioni| Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer
Teoria di Galois| Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche| Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti| Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica
*[EN]: inglese