斜めCT

斜めCT（ななめCT）とは、X線検査装置のうち傾斜コーンビーム方式を用いたCT装置を指す。

名前のとおり、斜めCTは、X線を斜め方向から対象物体に照射し、検出器でその透視画像を各方向から撮影することで、対象物体の断層像を得る。一般的に、斜めCT装置では回転台に対象物体を置き、回転台を回すことによって各方向から撮影画像を得る。基板のような薄い物体の断層像を得て、その欠陥を発見することができる[1]。

2008年現在、斜めCTでは、検出器を垂直方向から水平方向まで置いて撮影した画像に対して、対象物体の断層像を得ることができる。対象物体の断層像を得るアルゴリズムは、3次元CT画像再構成法であるFDK法[1]から導出できる。すなわち、検出器を垂直方向に置いた時は、FDK法をそのまま使って画像再構成を行い、他の方向に置いた場合は、座標変換を行って、FDK法の導出方法に合わせれば、すぐに再構成数式が導出できる。

## 応用領域

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## 垂直検出器撮像方法および座標系

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まず、検出器座標系を次のように表示する。

e -> u = ( − sin ⁡ λ , cos ⁡ λ , 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{u}=(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)} ,  e -> w = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{w}=(0,0,1)} .

また、

v ¯ = x cos ⁡ λ + y sin ⁡ λ {\displaystyle {\overline {v}}=x\cos \lambda +y\sin \lambda }

とすると、検出器上の点  ( u ¯ , w ¯ ) {\displaystyle ({\overline {u}},{\overline {w}})} と対象物体の座標系の点  ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} の関係は、次のように表示することができる。

u ¯ = R R − v ¯ ( − x sin ⁡ λ + y cos ⁡ λ ) {\displaystyle {\overline {u}}={\frac {R}{R-{\overline {v}}}}(-x\sin \lambda +y\cos \lambda )} ,  w ¯ = R R − v ¯ ( z − d ) + d {\displaystyle {\overline {w}}={\frac {R}{R-{\overline {v}}}}(z-d)+d} .

## 垂直検出器撮像の再構成方法

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コーンビームCT画像再構成であるFDK法は、次のように表示できる。

f ( x , y , z ) = − 1 4 π 2 ∫ 0 2 π d λ R 2 ( R − v ¯ ) 2 ∫ d u h ( u ¯ − u ) g λ ( u , w ¯ ) R R 2 + u 2 + ( w ¯ − d ) 2 {\displaystyle f(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\lambda {\frac {R^{2}}{(R-{\overline {v}})^{2}}}\int duh({\overline {u}}-u)g_{\lambda }(u,{\overline {w}}){\frac {R}{\sqrt {R^{2}+u^{2}+({\overline {w}}-d)^{2}}}}} .

上述の式において、関数 h ( ) {\displaystyle h()} はRampフィルタである。

## 水平検出器撮像方法および座標系

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まず、検出器座標系を次のように表示する。

e -> p = ( − sin ⁡ λ , cos ⁡ λ , 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{p}=(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)} ,  e -> q = ( − cos ⁡ λ , − sin ⁡ λ , 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{q}=(-\cos \lambda ,-\sin \lambda ,0)} .

検出器上の点  ( p ¯ , q ¯ ) {\displaystyle ({\overline {p}},{\overline {q}})} と対象物体の座標系の点  ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} の関係は、次のように表示することができる。

p ¯ = d d − z ( − x sin ⁡ λ + y cos ⁡ λ ) {\displaystyle {\overline {p}}={\frac {d}{d-z}}(-x\sin \lambda +y\cos \lambda )} ,  q ¯ = − d d − z ( x cos ⁡ λ + y sin ⁡ λ ) + R z d − z {\displaystyle {\overline {q}}=-{\frac {d}{d-z}}(x\cos \lambda +y\sin \lambda )+{\frac {Rz}{d-z}}} .

## 水平検出器撮像の再構成方法

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まず、座標変換を行い、その結果をFDK法を導出する式に合わせると、画像再構成式は次のようになる。

f ( x , y , z ) = − 1 4 π 2 ∫ 0 2 π d λ R 2 ( R − v ¯ ) 2 ∫ d p h ( p ¯ − p ) g λ ( p , q ¯ ) ( R + q ¯ ) 2 R ( R + q ¯ ) 2 + p 2 + d 2 {\displaystyle f(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\lambda {\frac {R^{2}}{(R-{\overline {v}})^{2}}}\int dph({\overline {p}}-p)g_{\lambda }(p,{\overline {q}}){\frac {(R+{\overline {q}})^{2}}{R{\sqrt {(R+{\overline {q}})^{2}+p^{2}+d^{2}}}}}} .

## 任意検出器撮像方法および座標系

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まず、任意検出器座標系を次のように表示する。

e -> φ = ( − sin ⁡ λ , cos ⁡ λ , 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }=(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)} ,  e -> χ = ( − cos ⁡ λ , − sin ⁡ λ , 0 ) sin ⁡ θ + ( 0 , 0 , 1 ) cos ⁡ θ {\displaystyle {\vec {e}}_{\chi }=(-\cos \lambda ,-\sin \lambda ,0)\sin \theta +(0,0,1)\cos \theta } .

検出器上の点  ( φ ¯ , χ ¯ ) {\displaystyle ({\overline {\varphi }},{\overline {\chi }})} と対象物体の座標系の点  ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} の関係は、次のように表示することができる。

φ ¯ = ( R cos ⁡ θ + d sin ⁡ θ ) ( − x sin ⁡ λ + y cos ⁡ λ ) ( R − x cos ⁡ λ − y sin ⁡ λ ) cos ⁡ θ + ( d − z ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\overline {\varphi }}={\frac {(R\cos \theta +d\sin \theta )(-x\sin \lambda +y\cos \lambda )}{(R-x\cos \lambda -y\sin \lambda )\cos \theta +(d-z)\sin \theta }}} ,  χ ¯ = R z − d ( x cos ⁡ λ + y sin ⁡ λ ) ( R − x cos ⁡ λ − y sin ⁡ λ ) cos ⁡ θ + ( d − z ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\overline {\chi }}={\frac {Rz-d(x\cos \lambda +y\sin \lambda )}{(R-x\cos \lambda -y\sin \lambda )\cos \theta +(d-z)\sin \theta }}} .

## 任意検出器撮像の再構成方法

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まず、座標変換を行い、その結果をFDK法を導出する式に合わせると、画像再構成式は次のようになる。

f ( x , y , z ) = − 1 4 π 2 ∫ 0 2 π d λ R 2 ( R − v ¯ ) 2 ∫ d φ h ( φ ¯ − φ ) g λ ( φ , χ ¯ ) ( R + χ ¯ sin ⁡ θ ) 2 R ( R + χ ¯ sin ⁡ θ ) 2 + φ 2 + ( d − χ ¯ cos ⁡ θ ) 2 {\displaystyle f(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\lambda {\frac {R^{2}}{(R-{\overline {v}})^{2}}}\int d\varphi h({\overline {\varphi }}-\varphi )g_{\lambda }(\varphi ,{\overline {\chi }}){\frac {(R+{\overline {\chi }}\sin \theta )^{2}}{R{\sqrt {(R+{\overline {\chi }}\sin \theta )^{2}+\varphi ^{2}+(d-{\overline {\chi }}\cos \theta )^{2}}}}}} .

## 脚注

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[脚注の使い方]

1. ^ a b 戸田裕之. X線CT―産業・理工学でのトモグラフィー実践活用. 共立出版. ISBN 978-4-320-08222-9