Econometria

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Econometria é um conjunto de ferramentas estatísticas com o objetivo de entender a relação entre variáveis econômicas através da aplicação de um modelo matemático.

A econometria nasceu como uma disciplina científica na década de 1930. Nos primeiros anos, a maioria das aplicações lidava com questões macroeconômicas para ajudar governos e grandes empresas a tomar suas decisões de longo prazo. Atualmente a econometria é uma ferramenta indispensável para modelar a realidade em quase todas as disciplinas econômicas e de negócios.[1]

## Modelo econométrico básico: regressão linear

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A ferramenta básica da econometria é o modelo de regressão linear (modelo clássico de regressão linear). Na econometria moderna, outras ferramentas estatísticas são frequentemente usadas, mas a regressão linear é, ainda, o ponto de partida mais frequente para a análise.

Um modelo, de uma forma geral, é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem certos pressupostos. Um modelo clássico de regressão linear é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem a quatro pressupostos:[2]

1. Linearidade;
2. Exogeneidade estrita;
3. Ausência de multicolinearidade;
4. Variância esférica dos erros.

Assumindo uma variável dependente (a que se quer explicar) "Y" e um conjunto de "K" variáveis explicativas "X1", "X2", "X3", ..., "XK" (que explicam a variável dependente), podemos representar o modelo clássico de regressão linear de duas maneiras:[2]

| Representação não matricial  | Representação matricial

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Modelo  |

* y i = β 1 ∗ x i 1 + β 2 ∗ x i 2 + . . . + β k ∗ x i K + u i {\displaystyle y_{i}=\beta _{1}*x_{i1}+\beta _{2}*x_{i2}+...+\beta _{k}*x_{iK}+u_{i}}

* Y = X β + U {\displaystyle Y=X\beta +U}

Em que  |

* o subscrito "i" varia de 1 a n e representa o número de observações.
* u i {\displaystyle u_{i}} é o erro não observado, que atende à propriedade de exogeneidade estrita:  E ( u i | x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) = 0 {\displaystyle E(u_{i}|x_{1},x_{2},x_{3},...,xn)=0} , ou seja, o erro não é correlacionado com nenhuma das variáveis do modelo.

* Y é um vetor coluna com as "n" observações da variável "y", ou seja:  Y = [ y 1 y 2 y 3 . . . y n ] {\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\y_{2}\\\y_{3}\\\\...\\\y_{n}\end{bmatrix}}}
* X é uma matriz com "n" linhas e "K" colunas, representando as "n" observações e as "K" variáveis explicativas: X = [ x 11 x 12 x 13 . . . x 1 K x 21 x 22 x 23 . . . x 2 K x 31 x 32 x 33 . . . x 3 K . . . x n 1 x n 2 x n 13 . . . x n K ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\\x_{21}&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\\x_{31}&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\\\...\\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}}
* β é um vetor coluna com os "K" coeficientes
* U é um vetor de erros não observáveis, que atende à propriedade da exogeneidade estrita:  E ( u i | X ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle E(u_{i}|X)=0,i=1,2,...,n} .

Se o modelo admite intercepto,  |  x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} | A primeira coluna da matriz X é igual a 1, ou seja,  X = [ 1 x 12 x 13 . . . x 1 K 1 x 22 x 23 . . . x 2 K 1 x 32 x 33 . . . x 3 K . . . 1 x n 2 x n 13 . . . x n K ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}1&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\\1&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\\1&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\\\...\\\1&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}}

## Métodos

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* Seja um modelo na forma matricial

Y = X β + ε {\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon }

* Z é uma matriz de instrumentos
* E [ ε ε T | X ] = σ 2 Ω {\displaystyle E\left[\varepsilon \varepsilon ^{T}|X\right]=\sigma ^{2}\Omega } é a matriz de variância-covariância dos erros.

Os principais métodos econométricos para realizar regressões, bem como seus estimadores (na forma matricial), são:

Método de estimação | Hipóteses principais | Estimador  β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} | Matriz de Variância-Covariância do estimador

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Método dos mínimos quadrados (OLS) | linearidade;  E [ ε | X ] = 0 {\displaystyle E[\varepsilon |X]=0} |  β ^ O L S = [ X T X ] − 1 X T y {\displaystyle {\hat {\beta }}^{OLS}=\left[X^{T}X\right]^{-1}X^{T}y} [3][4] |  V a r ( β ^ O L S ) = σ 2 [ X T X ] − 1 {\displaystyle Var\left({\hat {\beta }}^{OLS}\right)=\sigma ^{2}\left[X^{T}X\right]^{-1}} [4]
mínimos quadrados generalizados |  Ω {\displaystyle \Omega } é conhecida e invertível |  β ^ G L S = [ X T Ω − 1 X ] − 1 X T Ω − 1 y {\displaystyle {\hat {\beta }}^{GLS}=\left[X^{T}\Omega ^{-1}X\right]^{-1}X^{T}\Omega ^{-1}y} [4] |  V a r ( β ^ G L S ) = σ 2 [ X T Ω − 1 X ] − 1 {\displaystyle Var\left({\hat {\beta }}^{GLS}\right)=\sigma ^{2}\left[X^{T}\Omega ^{-1}X\right]^{-1}} [4]
Método da máxima verossimilhança | distribuição conhecida |  β ^ M V = {\displaystyle {\hat {\beta }}^{MV}=} | e
Método dos momentos generalizado | e |  β ^ G M M = [ X T Ω − 1 X ] − 1 X T Ω − 1 y {\displaystyle {\hat {\beta }}^{GMM}=\left[X^{T}\Omega ^{-1}X\right]^{-1}X^{T}\Omega ^{-1}y} | e
Variáveis instrumentais |  E [ ε | X ] ≠ 0 {\displaystyle E[\varepsilon |X]\neq 0} |  β ^ O L S = [ Z T X ] − 1 Z T y {\displaystyle {\hat {\beta }}^{OLS}=\left[Z^{T}X\right]^{-1}Z^{T}y} | e
Método dos mínimos quadrados em dois estágios (MQ2E) | e | e | e
Método bayesiano | e | e |

### Organização dos dados

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Dependendo dos dados que se possui, é possível realizar estudos organizando-os das seguintes maneiras:

* Secções cruzadas, ou cross section para uma ou mais variáveis estáticas no tempo;
* Séries temporais, ou time series para uma ou mais variáveis observadas ao longo do tempo;
* Dados em painel, ou panel data são informações de indivíduos ou firmas (ou alguma outra dimensão), que podem ser acompanhadas ao longo do tempo. Dados em painel podem ser divididos em painéis balanceados ou não-balanceados. Em painéis balanceados se acompanham a mesma entidade ao longo de todo o período, já em painéis não-balanceados a entidade pode entrar no banco de dados e sair antes de terminar o período de observação.

## Exemplo

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"A renda ( R {\displaystyle R} ) de uma família influencia no consumo ( C {\displaystyle C} ) da mesma?"

Em econometria, essa questão é respondida através da proposta de um modelo como, por exemplo:

C = α + β R + ε {\displaystyle C=\alpha +\beta R+\varepsilon }

, onde

* C {\displaystyle C\,\\!} : Consumo
* α {\displaystyle \alpha \,\\!} : Constante do modelo
* β {\displaystyle \beta \,\\!} : Coeficiente do modelo para Renda
* R {\displaystyle R\,\\!} : Renda
* ε {\displaystyle \varepsilon \,\\!} : Erro

em que a hipótese nula é que  β = 0 {\displaystyle \beta =0\,\\!} e a hipótese alternativa é  β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0\,\\!} .

Com uma base de dados sobre renda e consumo e com as técnicas econométricas, esse modelo pode ser estimado e a hipótese nula pode ser testada.

Se a hipótese nula for rejeitada, podemos dizer com um certo nível de confiança que a renda da família influencia seu consumo.

É importante notar que a econometria trata de um estudo genérico. Não é interessada em observar casos pontuais ou específicos, mas, sim, o movimento global da teoria. No caso do exemplo acima, testar se, para um determinado grupo estudado, a renda adquirida influencia no consumo dos mesmos.

Outros modelos econométricos mais robustos levam em consideração outros fatores e premissas com o objetivo de melhorar sua assertividade.

## Problemas comuns na análise econométrica

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Diversos problemas podem surgir em uma análise de regressão, comprometendo a confiabilidade dos valores dos coeficientes estimados, assim como a inferência estatística. Entre os problemas mais comuns se destacam, principalmente:

* Multicolinearidade
* Heteroscedasticidade
* Autocorrelação
* Endogeneidade
* Atrição

## Econometria e Economia Matemática

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O termo econometria é as vezes confundido com economia matemática.

O termo "metria" do último termo está relacionado a medição de dados econômicos, abordando estudos de observações empíricas através de métodos estatísticos de estimação e testes de hipóteses. O ramo da economia matemática, por sua vez, se destina a aplicação da matemática a aspectos puramente teóricos da análise econômica, preocupando-se muito pouco, ou quase nada, com problemas estatísticos como erros de medição das variáveis que estão sendo investigadas.

A aplicação da economia matemática se concentra no raciocínio dedutivo e não ao indutivo, lidando portanto, com problemas teóricos e não empíricos, não desmerecendo a econometria como menos relevante.

Uma vez que os estudos empíricos e análises teóricas são complementares e se reforçam mutuamente, a validade das teorias são testadas em relação aos dados empíricos antes que elas possam ser aplicadas com confiança. Em contrapartida, o trabalho estatístico necessita da teoria econômica como guia, para determinar a direção mais relevante e proveitosa da pesquisa.

Todavia, de uma certa forma, a economia matemática pode ser considerada a mais básica das duas, pois para desenvolver um estudo estatístico e econométrico significativo, é indispensável uma boa estrutura teórica - de preferência em formulação matemática.

## Software econométrico

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* Julia
* EViews – Um software para análise econométrica
* GAUSS
* GNU R
* GNU Octave
* Gretl – Um software livre, similar ao EViews
* IGEst – Um software livre, com interface minimalista
* JMulTi (em inglês)
* LIMDEP – Um software para análise econométrica
* Matlab
* PSPP
* Scilab
* SAS
* SPSS
* Comparação de pacotes estatísticos (em inglês)

## Referências

1. ↑ HEIJ, Christiaan; DE BOER, Paul; FRANSES, Philip Hans; KLOEK, Teun; VAN DIJK, Herman K. Econometric Methods with Applications in Business and Economics. OXFORD, 2004.
2. ↑ a b Hayashi, Fumio (2000). «1». Econometrics. United States of America: Princeton University Press. 4 páginas. ISBN 0-691-01018-8
3. ↑ WOOLDRIDGE. Introdução á Econometria. Apêndice E. Página 110
4. ↑ a b c d HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press, 2000. ISBN 0-691-01018-8. Capítulo 1.

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Econometria

Regressão linear|

Método dos mínimos quadrados · R² · Teste t · Teste F · Valor-p

Regressão não-linear|

Modelo linear generalizado · Máxima verossimilhança · Método dos momentos generalizados

Ajustes nos modelos|

Correlação serial · Endogeneidade · Heteroscedasticidade · Mínimos quadrados de dois estágios  · Multicolinearidade · Variável dummy · Variáveis instrumentais · Regressão quantílica · Teste de especificação de Hausman

Variável dependente limitada|

Modelo probit  · Regressão logística  · Regressão de Poisson

Série temporal|

Autocorrelação  · Ruído branco  · Operador de defasagem  · ARMA  · ARIMA · GARCH  · Dados em painel  · Teste de Chow  · Teste de Dickey-Fuller aumentado

Softwares|

EViews · Gretl · LIMDEP & NLOGIT · IGEst  · MATLAB  · R  · Shazam software  · Stata  · Octave  · JMulTi  · PSPP

Pessoas|

Adrien-Marie Legendre  · Carl Friedrich Gauss  · David Dickey · George Box  · Gwilym Jenkins  · George Chow · Lars Peter Hansen  · Ronald Fisher  · Wayne Fuller

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Estatística

Estatística descritiva|

| Gráficos estatísticos|

* Biplot
* Carta de controlo
* Diagrama de caixa
* Diagrama de ramos e folhas
* Gráfico em leque
* Forest plot
* Função correlograma
* Gráfico de barras
* Gráfico de dispersão
* Gráfico de linha
* Gráfico de setores
* Gráfico Q-Q

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* Média
* Aritmética
* Geométrica
* Harmônica
* Ponderada
* Mediana
* Moda
* Variância
* Desvio padrão
* Coeficiente de variação

Inferência estatística|

* Análise de variância
* Cópula gaussiana
* Análise multivariada da variância
* Distribuição t de Student
* Erro do tipo I
* Erro do tipo II
* Hipotése nula/Hipótese alternativa
* Método de Neyman–Pearson
* Normalização de dados
* Potência
* Significância
* Teste T
* Teste Z
* Testes de hipóteses
* Valor-p

Estatística não-paramétrica|

* Teste binomial
* Teste chi-quadrado de Pearson
* uma amostra
* duas amostras independentes
* k amostras independentes
* Teste Kolmogorov-Smirnov
* uma amostra
* duas amostras independentes
* Teste de McNemar
* Teste dos sinais
* Teste de Wilcoxon
* Teste de Walsh
* Teste exato de Fisher
* Teste Q de Cochran
* Teste de Kruskal-Wallis
* Teste de Friedman

Análise de sobrevivência|

* Função de sobrevivência
* Kaplan-Meier
* Teste log-rank
* Taxa de falha
* Proportional hazards models

Amostragem|

* Amostra
* Amostragem aleatória simples
* Amostragem estratificada
* Amostragem por conglomerados
* Amostragem sistemática

Distribuição de probabilidade|

* Normal
* De Pareto
* De Poisson
* De Bernoulli
* Hipergeométrica
* Binomial
* Binomial negativa
* Gama
* Beta
* t de Student
* F de Fisher-Snedecor
* Weibull
* Chi-quadrado

Correlação|

* Variável de confusão
* Coeficiente de correlação de Pearson
* Coeficiente de correlação de postos de Spearman
* Coeficiente de correlação tau de Kendall

Regressão|

* Regressão linear
* Regressão não linear
* Regressão logística
* Método dos mínimos quadrados
* Modelos lineares generalizados
* Modelos para dados longitudinais

Análise multivariada|

* Distribuição normal multivariada
* Análise de componentes principais
* Análise fatorial
* Análise discriminante

Análise de "Cluster" (análise de agrupamento)

* Análise de correspondência

Séries temporais|

* Modelos para séries temporais
* Tendência e sazonalidade
* Modelos de suavização exponencial
* ARIMA
* Modelos sazonais

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Economia

Metodologia|

* Econometria
* Economia computacional
* Economia da linguagem
* Economia experimental
* Economia matemática
* Microfundamentos
* Modelo econômico
* Sistemas económicos

Macroeconomia|

* Balança de pagamentos
* Banco central
* Capitalismo
* Contabilidade nacional
* Desemprego
* Dinheiro
* Lado da oferta
* Economia política
* Expectativas adaptativas
* Expectativas racionais
* Inflação
* Lei de Gresham
* Metas de inflação
* Modelo IS/LM
* Moeda
* Monetarismo
* Padrão-ouro
* Paridade de poder de compra
* Política monetária
* Política orçamental
* Propensão marginal a consumir
* Reaganomics
* Recessão
* Socialismo

Microeconomia|

* Agregado
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* Aversão ao risco
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* Discriminação de preços
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* Falha de mercado
* Forma de mercado
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* Monopólio
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Sub-disciplinas|

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* História do pensamento econômico
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* Sociologia econômica
* Trabalho

Escolas|

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* Economia marxiana/marxista
* Economia neoclássica
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* Neo-keynesiana
* Escola de Chicago
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* Anarquista
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* Corporativista
* Georgista
* Laissez-faire
* Mercantilista
* Ortodoxa e Heterodoxa
* Protecionista
* Sindicalista
* Socialista
* Socialismo de mercado
* Terceira via

Economistas|

* Adam Smith
* David Ricardo
* Friedrich Hayek
* Henry George
* John Maynard Keynes
* Karl Marx
* Ludwig von Mises
* Milton Friedman
* Paul Samuelson
* outros

Relacionados|

* Austeridade
* Economia da ciência
* Economia da paz
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Processos estocásticos

Tempo discreto|

* Cadeias de Markov
* Passeio aleatório
* Autoevitante
* Processo de Bernoulli
* Processo de Galton–Watson
* Processo de Moran
* Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

Tempo contínuo|

* Processo de Bessel
* Movimento browniano
* Ponte
* Excursão
* Fracionário
* Geométrico
* Meander
* Processo de Cauchy
* Processo de Cox
* Processo de Feller
* Processo de Fleming–Viot
* Processo de Hunt
* Difusão de Itô
* Processo de Itô
* Processo Lévy
* Tempo local
* Processo aditivo de Markov
* Processo de McKean–Vlasov
* Processo Ornstein–Uhlenbeck
* Processo de Poisson
* Evolução de Schramm–Loewner
* Processo de Wiener
* Processo de nascimento e morte
* Processo de contato
* Passeio aleatório de tempo contínuo
* Processo empírico
* Difusão de salto

Ambos|

* Processo gaussiano
* Modelo Galves-Löcherbach
* Cadeias estocásticas com memória de alcance variável
* Modelo oculto de Markov
* Processo de Markov
* Martingale
* Ruído branco
* Processo regenerativo

Campos e outros|

* Processo de Dirichlet
* Medida de Gibbs
* Modelo de Hopfield
* Modelo de Ising
* Modelo de Potts
* Campo aleatório de Markov
* Processo de Pitman–Yor
* Grafo aleatório

Modelos de série temporal|

* Modelos ARCH
* ARIMA
* ARMA

Modelos financeiros|

* Black–Derman–Toy
* Black–Karasinski
* Chen
* Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
* Garman–Kohlhagen
* Heath–Jarrow–Morton (HJM)
* Heston
* Ho–Lee
* Hull–White
* LIBOR market
* Rendleman–Bartter
* SABR volatility
* Vašíček
* Wilkie

Modelos atuariais|

* Bühlmann
* Cramér–Lundberg
* Sparre–Anderson

Modelos de filas|

* Fila M/M/1

Propriedades|

* Càdlàg
* Processo contínuo de Feller
* Gauss–Markov
* Markov
* Contínuo
* Reversível no tempo

Teoremas limites|

* Teorema central do limite
* Teorema de Donsker
* Teoria ergódica
* Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko
* Lei dos grandes números
* Lei do logaritmo iterado
* Teorema de Sanov

Desigualdades|

* Burkholder–Davis–Gundy
* Kunita–Watanabe
* Martingale de Doob

Ferramentas|

* Fórmula de Cameron–Martin
* Convergência de variáveis aleatórias
* Exponencial de Doléans-Dade
* Teorema da decomposição de Doob–Meyer
* Fórmula de Dynkin
* Fórmula de Feynman–Kac
* Teorema de Girsanov
* Integral de Itô
* Lema de Itō
* Teorema da continuidade de Kolmogorov
* Teorema da extensão de Kolmogorov
* Métrica de Lévy–Prokhorov
* Teorema de Prokhorov
* Integral de Skorokhod
* Teorema da representação de Skorokhod
* Espaço de Skorokhod
* Equação diferencial estocástica
* Tanaka
* Integral de Stratonovich
* Espaço de Wiener
* Clássico
* Abstrato
* Princípio da reflexão

Disciplinas|

* Ciências atuariais
* Econometria
* Teoria ergódica
* Matemática financeira
* Teoria das probabilidades
* Teoria das filas
* Estatística
* Cálculo estocástico
* Série temporal
* Aprendizado de máquina

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