Higher polynomials

Эта статья предлагается для быстрого удаления.

Причина: ВП:НЕОРИСС.

* Автоподтверждённые участники имеют право снять или заменить этот шаблон в случаях, оговорённых в правилах.
* Если вы не согласны с необходимостью быстрого удаления, поставьте шаблон `{{hangon}}` прямо под этим сообщением и сразу же объясните необходимость оставления на странице обсуждения.

* * *

Последнее изменение сделано участником FedyaRcon (вклад · журналы) в 11:41, 16 декабря 2023 (UTC; менее 2 часов назад).

Администраторам и подводящим итоги:

* ссылки сюда
* история
* журналы
* удалить

|

Быстрое удаление этой статьи оспаривается.

Участник, поставивший это уведомление, сомневается в необходимости быстрого удаления этой статьи. Комментарии — на странице обсуждения. Несмотря на это, администраторы всё равно могут выполнить удаление при соответствии этой статьи критериям быстрого удаления.

|

a x 6 + b x 5 + c x 4 + d x 3 + e x 2 + f x + g + v = 0 , a ≠ 0. {\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g+v=0,\quad a\neq 0.}

Уравнения такого вида является разрешимым в аналитических радикалах, только тогда когда  v , a ≠ 0. {\displaystyle v,\quad a\neq 0.} является параметром, имеющий фиксированное значение. Его можно вычислить по резольвенте кубического уравнения с четырьмя уравнениями в системе. При этом остальные коэффициенты останутся неизменными.

{ 2 a + 2 b = − 2 t p , ( a + b ) 2 + 2 a b = r p , 2 a b ( a + b ) = w p , ( a 2 ) ( b 2 ) = n p , + v a p , − q 2 4 p − t 2 p − q t p , {\displaystyle {\begin{cases}2a+2b=-{\dfrac {2t}{p}},\\\\(a+b)^{2}+2ab={\dfrac {r}{p}},\\\2ab(a+b)={\dfrac {w}{p}},\\\\(a^{2})(b^{2})={\dfrac {n}{p}},+{\dfrac {v}{ap}},-{\dfrac {q^{2}}{4p}}-{\dfrac {t^{2}}{p}}-{\dfrac {qt}{p}},\\\\\end{cases}}}

Для того чтобы найти коэффициенты  p , q , r , w , n {\displaystyle p,q,r,w,n} Необходимо убрать коэффициент  b x 5 {\displaystyle bx^{5}} При помощи выделения полной шестой степени, можем выразить значения коэффициентов, где:

p = 12 a c − 5 b 2 12 a 2 {\displaystyle p={\dfrac {12ac-5b^{2}}{12a^{2}}}} q = 27 a 2 d + 5 b 3 − 18 a b c 27 a 3 {\displaystyle q={\dfrac {27a^{2}d+5b^{3}-18abc}{27a^{3}}}} r = 24 a c b 2 − 5 b 4 − 72 b d a 2 − 144 e a 3 144 a 4 {\displaystyle r={\dfrac {24acb^{2}-5b^{4}-72bda^{2}-144ea^{3}}{144a^{4}}}} w = − 6 a b 3 c + 27 d a 2 b 2 − 108 e a 3 b + b 5 + 324 a 4 f 324 a 5 {\displaystyle w={\dfrac {-6ab^{3}c+27da^{2}b^{2}-108ea^{3}b+b^{5}+324a^{4}f}{324a^{5}}}} n = 46656 a 5 g + 36 a b 4 c − 5 b 6 − 216 a 2 b 3 d + 1296 e a 3 b 2 − 7776 a 4 b f 46656 a 6 {\displaystyle n={\dfrac {46656a^{5}g+36ab^{4}c-5b^{6}-216a^{2}b^{3}d+1296ea^{3}b^{2}-7776a^{4}bf}{46656a^{6}}}} Для следующего вида уравнения:  y 6 + p y 4 + q y 3 + r y 2 + w y + n + v a = 0 , a ≠ 0. {\displaystyle y^{6}+py^{4}+qy^{3}+ry^{2}+wy+n+{\dfrac {v}{a}}=0,\quad a\neq 0.} Для которого  x = y − b 6 a {\displaystyle x=y-{\dfrac {b}{6a}}} Распределим слагаемые в разных частях уравнения.

{\displaystyle y^{6}+qy^{3}=-py^{4}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}}

Также добавим к обеим частям  + q 2 4 {\displaystyle +{\dfrac {q^{2}}{4}}} для того чтобы снова получить полный квадрат. По итогу получим:  ( y 3 + q 2 ) 2 = − p y 4 − r y 2 − w y − n − v a + q 2 4 {\displaystyle (y^{3}+{\dfrac {q}{2}})^{2}=-py^{4}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}} Добавим в полный квадрат параметр:  t {\displaystyle t} тогда соответственно добавим справа ещё 3 слагаемых:  t 2 , q t , 2 t y 3 . {\displaystyle t^{2},qt,2ty^{3}.} По итогу мы получили такое уравнение:  ( y 3 + q 2 + t ) 2 = − p y 4 + 2 t y 3 − r y 2 − w y − n − v a + q 2 4 + q t + t 2 {\displaystyle (y^{3}+{\dfrac {q}{2}}+t)^{2}=-py^{4}+2ty^{3}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}+qt+t^{2}} Система которую мы записали характерна для следующего разложения. Коэффициенты a;b в системе являются корнями, такого полинома:  ( x + a ) 2 ( x + b ) 2 = x 4 + ( 2 b + 2 a ) x 3 + ( a 2 + 4 a b + b 2 ) x 2 + ( 2 a 2 b + 2 b 2 a ) x + b 2 a 2 {\displaystyle (x+a)^{2}(x+b)^{2}=x^{4}+(2b+2a)x^{3}+(a^{2}+4ab+b^{2})x^{2}+(2a^{2}b+2b^{2}a)x+b^{2}a^{2}} Из которых соответственно выходит данная система для такого уравнения:  − p y 4 + 2 t y 3 − r y 2 − w y − n − q t − t 2 − v a + q 2 4 {\displaystyle -py^{4}+2ty^{3}-ry^{2}-wy-n-qt-t^{2}-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}} где находятся два параметра  t {\displaystyle t} \- является независимым параметром, а  v {\displaystyle v} предстоит выразить для общего случая.

{ 2 a + 2 b = − 2 t p , ( a + b ) 2 + 2 a b = r p , 2 a b ( a + b ) = w p , ( a 2 ) ( b 2 ) = n p + v a p − q 2 4 p − t 2 p − q t p , {\displaystyle {\begin{cases}2a+2b=-{\dfrac {2t}{p}},\\\\(a+b)^{2}+2ab={\dfrac {r}{p}},\\\2ab(a+b)={\dfrac {w}{p}},\\\\(a^{2})(b^{2})={\dfrac {n}{p}}+{\dfrac {v}{ap}}-{\dfrac {q^{2}}{4p}}-{\dfrac {t^{2}}{p}}-{\dfrac {qt}{p}},\\\\\end{cases}}}