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| 数表 — 整数

<< −10 −9‍ −8‍ −7 −6 −5‍ −4 −3 −2 −1 >>

小寫| 负一
大寫| 负壹
序數詞| 第負一
negative first

種類| 整數

質因數分解| 單位元
因數| 1
絕對值| 1
相反数| 1
表示方式
值| -1
算筹|
二进制| −1(2)
八进制| −1(8)
十二进制| −1(12)
十六进制| −1(16)

阿拉伯文| −١
孟加拉语| −১
高斯整數導航

|  |  | ↑ |  |  |
|  |  | 2i |  |  |
|  | −1+i | i | 1+i |  |
← | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | →
|  | −1−i | −i | 1−i |  |
|  |  | −2i |  |  |
|  |  | ↓ |  |  |

在數學中，負一寫作 −1，是 1 的加法逆元，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為 e i π = − 1 {\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1} 。

在軟體開發中，用來表示變量包含無用的信息，亦能作為函數錯誤時的傳回值。

在编程语言中，取决于第一个元素是用 0 还是 1 表示，−1 可以用来索引数组的最后一个元素，或者倒数第二个元素。

−1 和 1 有许多相似但略有不同的特性。

## 代數性質

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將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及1是乘法運算的單位元之公理，對於實數x，我們得到

x + ( − 1 ) ⋅ x = 1 ⋅ x + ( − 1 ) ⋅ x = ( 1 + ( − 1 ) ) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0 {\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}

這裡我們使用了「任意實數x乘上0等於0」，將x從等式中約掉。

0 ⋅ x = ( 0 + 0 ) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x {\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}
複平面或直角坐標系上的0, 1, −1, i, 和 −i

也就是，

x + ( − 1 ) ⋅ x = 0 {\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}

故(−1) · x是 x的相反數。

### 負一平方

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−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

0 = − 1 ⋅ 0 = − 1 ⋅ [ 1 + ( − 1 ) ] {\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法逆元」。 再使用分配律，我們得到

0 = − 1 ⋅ [ 1 + ( − 1 ) ] = − 1 ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = − 1 + ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) {\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}

第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}

以上運算適用於任意環。

### 負一的平方根

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複數 i {\displaystyle i} 滿足 i 2 = − 1 {\displaystyle {{i}^{2}}=-1} ，也可視為-1的平方根。另一个能滿足x2 = −1的複數x是−i。[1]四元數的代數包含複數平面，等式x2 = −1擁有無限多組解。

### 負一的乘冪

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我們定義 x − 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} ，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律 x a ⋅ x b = x a + b a , b ∈ R {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} } 。 負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義 x − 1 {\displaystyle x^{-1}} 作為 x {\displaystyle x} 的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函數與反矩陣。例如： f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的反函數， sin − 1 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin ^{-1}(x)} 是反正弦函數。

### 负一的对数

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包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式 e i π + 1 = 0 {\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0} ，可以得出-1的自然对数 ln ⁡ ( − 1 ) = i π {\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi } 。

## 維數

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主条目：負維空間

空集的歸納維數被定義為-1。在抽象幾何學（英语：Abstract_polytope）中，空多胞形的維數亦被定義為-1[2]。

## 計算機的表示法

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大多數計算機系統使用二補數來表示負整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有符號整數表示，即為二进制的"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為n位無符號整數，n個1將表示為2n − 1，且較有符号整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為 2 8 − 1 = 255 {\displaystyle {{{2}^{8}}-{1}}=255} 。

在Setun計算機中  − 1 {\displaystyle -1} 以倒轉的阿拉伯數字一「1」表示[3]。

## 參見條目

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* 1：-1的相反數
* 数表

## 參考文獻

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1. ^ Ask Dr. Math. Math Forum.  [2012-10-14]. （原始内容存档于2019-08-15）.
2. ^ Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06  [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）.
3. ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (编). Programming. Moscow. 1963 （俄语）.