−2

提示：此条目的主题不是负二项分布。

-2 | ← −3  | −2 |  −1 →

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| 数表 — 整数

<<  −10  −9‍  −8‍ −7 −6  −5‍ −4 −3 −2 −1 >>

小寫| 負二
大寫| 負貳
序數詞| 第負二
negative second

種類| 整數

質因數分解| 一般不做質因數分解
高斯整數分解|  i × ( 1 + i ) 2 {\displaystyle i\times \left(1+i\right)^{2}}
因數| 1、2
絕對值| 2
相反数| 2
表示方式
值| -2
算筹|
二进制| −10(2)
三进制| −2(3)
四进制| −2(4)
五进制| −2(5)
八进制| −2(8)
十二进制| −2(12)
十六进制| −2(16)
高斯整數導航

|  |  | ↑ |  |  |
|  |  | 2i |  |  |
|  | −1+i | i | 1+i |  |
← | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | →
|  | −1−i | −i | 1−i |  |
|  |  | −2i |  |  |
|  |  | ↓ |  |  |

在數學中，負二是距離原點兩個單位的負整數[1]，记作−2或−2[2][3]，是2的加法逆元或相反數，介於−3與−1之間，亦是最大的負偶數。除了少數探討整環質元素的情況外[4]，一般不會將負二視為質數[5]。

負二有時會做為冪次表達平方倒數，用於國際單位制基本單位的表示法中，如m s-2[6]。此外，在部份領域如軟體設計，負一通常會作為函數的無效回傳值[7]，類似地負二有時也會用於表達除負一外的其他無效情況[8]，例如在整數數列線上大全中，負一作為不存在、負二作為此解是无穷[9][10]。

## 性質

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* 負二為第二大的負整數[11][12]。最大的負整數為負一。因此部分量表會使用負二作為僅次於負一的分數或權重。[13]
* 負二為負數中最大的偶數，同時也是負數中最大的單偶數（日语：単偶数）。
* 負二為格萊舍χ數（OEIS數列A002171）[14]
* 負二為第6個擴充貝爾數[15]（complementary Bell number，或稱Rao Uppuluri-Carpenter numbers ）（OEIS數列A000587），前一個是1後一個是-9。[16]
* 負二為最大的殭屍數[17]，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數[17]。前一個為-3（OEIS數列A328933）。所有負數中，只有26個整數有此種性質[17]。
* 負二為最大能使 tan ⁡ n > | n | {\displaystyle \tan n>\left|n\right|} 的負整數[18]。
* 負二能使二次域 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 的類数為1，亦即其整數環為唯一分解整環[註 1][19]。而根據史塔克-黑格纳理論（英语：Stark–Heegner theorem），有此性質的負數只有9個[20][21][22]，其對應的自然數稱為黑格纳数[23]。
* 此外負二也能使二次域 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 成為簡單歐幾里得整環（simply Euclidean fields，或稱歐幾里得範數整環，Norm-Euclidean fields）[24]。有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981）[25]。若放寬條件，則負十五也能列入[26][27]。
* 負二為從1開始使用加法、減法或乘法在2步內無法達到的最大負數[28]。1步內無法達到的最大負數是負一、3步內無法達到的最大負數是負四（OEIS數列A229686）[28]。這個問題為直線問題（英语：straight-line program）與加法、減法和乘法的結合[29]，其透過整數的運算難度對NP = P與否在代數上進行探討[30]。
* 負二為2階的埃尔米特数（英语：Hermite number）[31]，即 H 2 = H 2 ( 0 ) = − 2 {\displaystyle H_{2}=H_{2}(0)=-2\,} [32]。
* 同時，負二也是唯一一個素的[註 2]埃尔米特数。[33]
* 2 ! − 2 2 = − 2 {\displaystyle {{2!}-{{2}^{2}}}=-2} [34]，同時滿足 | n | ! − n 2 = n {\displaystyle \left|n\right|!-n^{2}=n} ，即 | − 2 | ! − ( − 2 ) 2 = − 2 {\displaystyle \left|-2\right|!-(-2)^{2}=-2} 。此外， n ! − 2 n {\displaystyle n!-2^{n}} 當 n {\displaystyle n} 為2和3時結果也為負二[35]。
* 負二能使k(k+1)(k+2)為三角形數[36]。所有整數只有9個數有此種性質[37]，而負二是有此種性質的最小整數。這9個整數分別為-2, -1, 0, 1, 4, 5, 9, 56和636（OEIS數列A165519）[37]。
* 負二為立方體下闭集合中欧拉示性数的最小值[38]。

### 負二的因數

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負二的擁有的因數若負因數也列入計算則與二的因數（含負因數）相同，為-2、-1、1、2。根據定義一般不對負數進行質因數分解，雖然能將 − 1 {\displaystyle -1} 提出來[39]計為 − 1 × 2 {\displaystyle -1\times 2} ，因此2可以視為負二的質因數，但不能作為負二的質因數分解結果。雖然不能對負二進行整數分解，由於負二是一個高斯整數，因此可以對負二進行高斯整數分解，結果為 i × ( 1 + i ) 2 {\displaystyle i\times (1+i)^{2}} ，其中 1 + i {\displaystyle 1+i} 為高斯質數[40]、 i {\displaystyle i} 為虛數單位。

### 負二的冪

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負二的冪 ( − 2 ) x {\displaystyle (-2)^{x}} 示意圖

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一個可以代表負二的冪 ( − 2 ) x {\displaystyle (-2)^{x}} 主值的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部、橫軸為 x {\displaystyle x} 、縱軸為 ( − 2 ) x {\displaystyle (-2)^{x}} 。只有在 x {\displaystyle x} 為整數時 ( − 2 ) x {\displaystyle (-2)^{x}} 為實數

負二的前幾次冪為 -2、4、-8、16、-32、64、-128 （OEIS數列A122803）正負震盪[41]，其中正的部分為四的冪、負的部分與四的冪差負二倍[42]，因此這種特性使得負二成為作為底數可以不使用負號、二補數等輔助方式表示全體實數的最大負數[41][43][44][45]，並在1957年間有部分計算機採用負二為底之進位制的數字運算進行設計[46]，類似地，使用2i則能表達複數[47]。

負二的冪之和是一個发散几何级数。雖然其結果發散，但仍可以求得其廣義之和，其值為1/3[48][49]。

∑ k = 0 n ( − 2 ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}} = 1 − 2 + 4 − 8 + …

若考慮几何级数的計算公式，則有[50]：

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

在首項a = 1且公比r = −2時，上述公式的結果為1/3。然而這個級數應為發散級數，其前幾項的和為[51]：

1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, 171, -341....（OEIS數列A077925）

這個級數雖然發散，然而歐拉對這個級數的結果給出了一個值，即1/3[52]，而這個和稱為歐拉之和（英语：Euler summation）[53]。

### 負二次冪

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數的負二次冪 x − 2 {\displaystyle x^{-2}} 示意圖

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一個可以代表數的負二次冪 x − 2 {\displaystyle x^{-2}} 的函數圖形。數的負二次冪亦可以用平方倒數來表示，即 x − 2 = 1 x 2 {\displaystyle x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}}

若一數的冪為負二次，則其可以視為平方的倒數，這個部分用於函數也適用[54]，而日常生活中偶爾會用于表示不帶除號的單位，如加速度一般計為m/s2，而在國際單位制基本單位的表示法中也可以計為 m s-2[6]。

而平方倒數中較常討論的議題包括對任意實數 n {\displaystyle n} 而言，其平方倒數 n − 2 {\displaystyle n^{-2}} 結果恆正、平方反比定律[56]、网格湍流衰減以及巴塞尔问题[57][58]。其中巴塞尔问题指的是自然數的負二次方和（平方倒數和）會收斂並趨近於 π 2 6 {\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} ，即[59][58]：

∑ n = 1 ∞ n − 2 = 1 − 2 + 2 − 2 + 3 − 2 + ⋯ = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-2}}={1^{-2}}+{2^{-2}}+{3^{-2}}+\cdots ={1 \over 1^{2}}+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}}

而這個值與黎曼ζ函數代入2的結果相同[60][61]。

對任意實數而言，平方倒數的結果恆正。例如負二的平方倒數為四分之一。前幾個自然數的平方倒數為：

平方倒數 | 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10

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x − 2 {\displaystyle x^{-2}} | 1 |  1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} |  1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} |  1 16 {\displaystyle {\frac {1}{16}}} |  1 25 {\displaystyle {\frac {1}{25}}} |  1 36 {\displaystyle {\frac {1}{36}}} |  1 49 {\displaystyle {\frac {1}{49}}} |  1 64 {\displaystyle {\frac {1}{64}}} |  1 81 {\displaystyle {\frac {1}{81}}} |  1 100 {\displaystyle {\frac {1}{100}}}
1  | 0.25  |  0. 1 ¯ {\displaystyle 0.{\overline {1}}} | 0.0625  | 0.04  |  0.0 27 ¯ {\displaystyle 0.0{\overline {27}}} | 0.0204081632....[註 3] | 0.015625  |  0.0 1 ¯ 2345679 0 ¯ {\displaystyle 0.0{\overline {1}}2345679{\overline {0}}} | 0.01

### 負二的平方根

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負二的平方根在定義虛數單位 i {\displaystyle i} 滿足 i 2 = − 1 {\displaystyle {{i}^{2}}=-1} 後可透過等式 − x = ± i x {\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}} 得出，而對負二而言，則為 − 2 = ± i 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}=\pm i{\sqrt {2}}} [註 4][62][64][65][66]。而負二平方根的主值為 i 2 {\displaystyle i{\sqrt {2}}} [註 5]。

## 表示方法

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負二通常以在2前方加入負號表示[67]，通常稱為「負二」或大寫「負貳」，但不應讀作「減二」[68]，而在某些場合中，會以「零下二」[69][70]表達-2，例如在表達溫度時[71]。

在二進制時，尤其是計算機運算，負數的表示通常會以二補數來表示[72]，即將所有位數填上1，再向下減。此時，負二計為「......11111110(2)」，更具體的，4位元整數負二計為「1110(2)」；8位元整數負二計為「11111110(2)」；16位元整數負二計為「1111111111111110(2)」[73]而在使用負號的表示法中，負二計為「-10(2)」[74]。

## 在其他領域中

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* 水星在地球上觀測的視星等平均約為負二等[75]，最大亮度則為−2.48等。[76]
* 時區UTC-2表示比协调世界时慢2小时[77]。
* 二(三氟甲基)硒（(CF3)2Se）的沸点为−2 °C。[78]

## 正負二

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正負二（ ± 2 {\displaystyle \pm 2} ）是透過正負號表達正二與負二的方式，其可以用來表示4的平方根或二次方程 x 2 = 4 {\displaystyle x^{2}=4} 的解，即 4 = ± 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm {2}} 。正負二比負二更常出現於文化中，例如一些音樂創作[79]或者紀錄片《±2℃》講述全球氣溫提升或降低兩度對環境可能造成的影響[80][81]。

## 參見

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* 2
* 2i

## 註釋

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1. ^ 當d<0時，若 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 的整數環為唯一分解整環，就表示 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 的數字都只有一種因數分解方式，例如 Q [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]} 的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在  Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整數乘積： 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} 和  ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。
2. ^ 此指埃尔米特多项式的费马伪素数
3. ^ 7的平方倒數之循環節有42位，0.0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51 ... 參閱49的倒數
4. ^ 4.0 4.1 bi-imaginary number system ⟨ R , Z R ⟩ {\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle } 中， R {\displaystyle R} 為負二、 Z R {\displaystyle Z_{R}} 為二的情況 ⟨ ± i 2 , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle } [62]
5. ^ 平方根的主值即 − x = ± i x {\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}} 取正的值，對於負二而言，即 − 2 = i 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}=i{\sqrt {2}}} [註 4][62][64][65][66]

## 參考文獻

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