5040

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| 数表 — 整数

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小寫| 五千零四十
大寫| 伍仟零肆拾
序數詞| 第五千零四十
five thousand and fortieth

種類| 整數

質因數分解|  {\displaystyle } 2 4 × 3 2 × 5 × 7 {\displaystyle 2^{4}\times 3^{2}\times 5\times 7}
表示方式
值| 5040
花码| 〥〇〤〇
算筹|
希腊数字| ,ΕΜ´
羅馬數字| VXL
二进制| 1001110110000(2)
三进制| 20220200(3)
四进制| 1032300(4)
五进制| 130130(5)
八进制| 11660(8)
十二进制| 2B00(12)
十六进制| 13B0(16)

5040是5039及5041之間的自然數，為7的階乘( 7 ! {\displaystyle 7!} )、超級高合成數（英语：Superior highly composite number）、Colossally過剩數和置換數( 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 {\displaystyle 10\times 9\times 8\times 7=5040} )。

## 哲理

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柏拉圖在法律篇指出5040是一個適合用來把東西除分的數字，可以用來劃分土地。他指出此數字跟2520一樣可由1至12（11除外）的之間所有自然數整除，他也發現此數字可由12整除兩次。柏拉圖多次主張5040是這個數字的用途有很多。[1]

讓-皮埃爾·卡汗（英语：Jean-Pierre Kahane）認爲柏拉圖透過5040帶出高合成數的概念。[2]

## 數字理論

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如果 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 是除數函數及 γ {\displaystyle \gamma } 是歐拉-馬斯刻若尼常數，5040是最大已知符合此不等的數字（OEIS數列 A067698）：

σ ( n ) ≥ e γ n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n} .

因爲在極限中有此公式：

lim sup n -> ∞ σ ( n ) n log ⁡ log ⁡ n = e γ . {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}

所以這定理並不平常。

蓋伊·羅賓（Guy Robin）在1984年指出當且僅當黎曼猜想爲真，這個不等不適用於任何更大的數字。

## 數學意義

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* 包括1和5040，5040有60個因數。

* 合數，正因數有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、24、28、30、35、36、40、42、45、48、56、60、63、70、72、80、84、90、105、112、120、126、140、144、168、180、210、240、252、280、315、336、360、420、504、560、630、720、840、1008、1260、1680、2520和5040。

質因數分解為 2 4 × 3 2 × 5 × 7 {\displaystyle 2^{4}\times 3^{2}\times 5\times 7} 。
* 過剩數，真因數和為14304，盈度為9264。
* 第19個高合成數。前一個為2520、下一個為7560。
* 7的階乘。前一個為720、下一個為40320。
* 十进制的哈沙德數。
* 十进制的奢侈數。
* 5040既是高合成數，又是階乘數的數，為最大符合此條件的數。
* 5040是42個連續的質數的總和（23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229）。
* 5040是數秘術中一個重要的數，尤其是與圓形和球體有關的數。地球半徑和月球半徑的總和是3960 + 1080 = 5040。[3]

## 參考資料

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1. ^ Plato at Project Gutenberg. Laws.  [2009年7月7日]. （原始内容存档于2011年6月24日）.
2. ^ Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Bulletin of the American Mathematical Society, 2015年2月, 62 (2): 136–140 .
3. ^ John Michell. City of Revelation: On the Proportions and Symbolic Numbers of the Cosmic Temple. 1973: 61. ISBN 0-345-23607-6.

## 外部連結

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* Mathworld 介紹柏拉圖數字的文章（页面存档备份，存于互联网档案馆）