Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales^[1]. Elle a ensuite était généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en) ^[2].

Soit ${\displaystyle I=[a;b]}$ un segment de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dans la suite, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ désigne l'espace ${\displaystyle C(I)}$ des fonctions continues sur ${\displaystyle I}$ ou l'espace ${\displaystyle L^{p}(I)}$ des fonctions p-intégrables sur ${\displaystyle I}$.

Soit ${\displaystyle k:[a;b]\times [a;b]\to \mathbb {C} }$ une fonction continue. On considère ${\displaystyle K:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$ l'opérateur de noyau ${\displaystyle k}$ :

Heuristique[modifier | modifier le code]

On se place sur ${\displaystyle [0;1]}$ et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue ${\displaystyle \phi }$

On peut essayer de discrétiser cette équation :

• en l'évaluant sur une famille de points ${\displaystyle (x_{l})_{0\leq l\leq n-1}}$ équirépartis dans l'intervalle ${\displaystyle [0;1]}$ : ${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{n}},~1\leq l\leq n-1}$.
• en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : ${\displaystyle \int _{0}^{1}k(x_{i},t)\phi (t)\,dt\approx \sum _{j=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}k(x_{i},x_{j})\phi (x_{j})}$.

On obtient alors, pour chaque ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, un système linéaire ${\displaystyle (E_{n})}$ d'équations

où les inconnues sont les ${\displaystyle (\phi (x_{l}))_{0\leq l\leq n-1}}$. Heuristiquement on peut espérer comprendre ${\displaystyle (*)}$ en analysant le comportement de ${\displaystyle (E_{n})}$ dans la limite ${\displaystyle n\to +\infty }$.

Or on montre^[3] que le déterminant ${\displaystyle d_{n}}$ du système linéaire homogène associé à ${\displaystyle (E_{n})}$ vaut :

où ${\displaystyle S_{m}}$ est la somme des mineurs principaux d'ordre ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle d_{n}}$. Comme de plus

on est donc amené à considérer la série "limite des ${\displaystyle d_{n}}$ " :

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur ${\displaystyle I+K}$. Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit^[4].

Déterminant de Fredholm[modifier | modifier le code]

La série entière ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\int _{I^{n}}\det {\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{n},x_{1})&\ldots &k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}dx_{1}...dx_{n}}$ a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur ${\displaystyle I+zK}$ la quantité

La fonction ${\displaystyle z\mapsto \det(I+zK)}$ est alors analytique sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini[modifier | modifier le code]

Dans cette section, on suppose que ${\displaystyle K}$est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle \lambda _{1}(K),\ldots ,\lambda _{n}(K)}$ les valeurs propres de ${\displaystyle K}$ comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit^[5] :

Lien avec la trace[modifier | modifier le code]

Comme ${\displaystyle K}$ et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Pour ${\displaystyle |z|}$ assez petit, on a^[5] :

Déterminant et inversibilité[modifier | modifier le code]

Remarques :

• La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;

• Pour tout ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$, l'indice de l'opérateur ${\displaystyle I+z_{0}K}$ est donc nul.

Notes et références[modifier | modifier le code]

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