Loi du logarithme itéré

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En théorie des probabilités, la loi du logarithme itéré est un résultat de convergence presque sûre de la limite supérieure et de la limite inférieure d'une moyenne de variables aléatoires réelles. Bien qu'elle établisse une divergence, puisque les deux limites ne sont pas égales, la loi du logarithme itéré peut être considérée comme un résultat intermédiaire entre la loi des grands nombres et le théorème central limite. Elle est due à Alexandre Khintchine (1924)^[1] qui l'obtint pour des variables de Bernoulli puis par Andreï Kolmogorov en 1929^[2].

Soit ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. possédant un moment d'ordre 2 fini.

En notant μ leur espérance, σ leur écart-type supposé non nul et en posant ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}:={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}},}$ nous avons les deux égalités suivantes :

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n}}\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right)}{\sigma {\sqrt {2\log \log n}}}}=1,\qquad {\text{presque sûrement,}}}$

et

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n}}\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right)}{\sigma {\sqrt {2\log \log n}}}}=-1.\qquad {\text{presque sûrement.}}}$

• Portail des probabilités et de la statistique