罗素悖论

罗素悖论（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

设 $A=\{x\mid x\not \in x\}$ ，那么 $A\in A\Leftrightarrow A\not \in A$ 。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質 $P$ ，並以一性質函数 $P(x)$ 表示，且其中的自變量 $x$ 具有特性 $x\not \in x$ 。现假设由性质 $P$ 能夠确定一个滿足性質 $P$ 的集合 $A$ ——也就是说 $A=\{x\mid x\not \in x\}$ 。那么， $A\in A$ 是否成立？

首先，若 $A\in A$ ，则 $A$ 是 $A$ 的元素，那么 $A$ 具有性质 $P$ ，由性質函数 $P$ 可以得知 $A\not \in A$ ；

其次，若 $A\not \in A$ ，根據定義， $A$ 是由所有滿足性質 $P$ 的類組成，也就是说， $A$ 具有性质 $P$ ，所以 $A\in A$ 。

通俗诠释

理发师悖论

小城里的理发师放出豪言：他要为城裡人刮鬍子，而且一定只要為城里所有“不为自己刮鬍子的人”刮鬍子。

但问题是：理发师该为自己刮鬍子吗？如果他为自己刮鬍子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他不应该为自己刮鬍子；但如果他不为自己刮鬍子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他又应该为自己刮鬍子。

用集合论的语言来描述理发师悖论是这样的：小城里的人构成集合 $A=\{a|a\ lives\ in\ the\ town\}$ ，对于每个小城里的人 $a$ 可以构造一个 $A$ 的子集 $S_{a}=\{x|a\ shaves\ x\}$ ，即 $a$ 给属于 $S_{a}$ 的人刮鬍子。那么，如果城里人 $a$ 给自己刮鬍子，则 $a\in S_{a}$ ，如果 $a$ 不给自己刮鬍子，则 $a\not \in S_{a}$ ，如果 $a$ 不给任何人刮鬍子，则 $S_{a}$ 为空，即 $S_{a}=\{\}$ 。设理发师为 $s$ ，则理发师的豪言就是： $S_{s}=\{a|a\not \in S_{a}\}$ 。问题是：如果 $s\in S_{s}$ ，这将与 $S_{s}$ 的定义矛盾，但如果 $s\not \in S_{s}$ ，根据 $S_{s}$ 的定义，又应该有 $s\in S_{s}$ 。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的，只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

書目悖論

书目悖论（英語：Catalogue Paradox）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？^[1]

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。<--!悖论“其问题几乎都是自指或自相关而引起”：是非原创总结源于：要点1. 文献 1.1章到1.5章包括了所有自相关的悖论类型，可以由其内容看到。要点2. 见参考文献引用中的两句1.6章的quotes。进一步表明悖论“其问题几乎都是自指或自相关而引起（除了涉及无限的句子链Yablo悖论）。-->^[2] 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了恶性循环原则（英语：Vicious_circle_principle），禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。^[2]逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参考资料

^ Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623.
^ ^2.0 ^2.1 Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. （原始内容存档于2021-06-10）. In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.

参见

自指
理发师悖论
类的理论

[1] Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623.

[SEP_Self-Reference-2] 2.0 ^2.1 Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. （原始内容存档于2021-06-10）. In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.

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