Binäre Exponentiation

Die binäre Exponentiation (auch Square-and-Multiply genannt) ist eine effiziente Methode zur Berechnung von natürlichen Potenzen, also Ausdrücken der Form ${\displaystyle x^{k}}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle k}$.

Dieser Algorithmus wurde bereits um ca. 200 v. Chr. in Indien entdeckt und ist in einem Werk namens Chandah-sûtra niedergeschrieben.

Um ${\displaystyle z=x^{4}}$ zu berechnen, kann man entweder ${\displaystyle z=x\cdot x\cdot x\cdot x}$ ausrechnen (drei Multiplikationen) oder ${\displaystyle y=x\cdot x}$, ${\displaystyle z=y\cdot y}$ (zwei Multiplikationen), also ${\displaystyle z=(x^{2})^{2}}$.

Ebenso können auch andere ganzzahlige Potenzen durch „fortgesetztes Quadrieren und gelegentliches Multiplizieren“ effizient berechnet werden.

Dieses Einsparen von Multiplikationen funktioniert sowohl für reelle Zahlen als auch für reellwertige Matrizen, elliptische Kurven und beliebige andere Halbgruppen.

• Umwandlung des Exponenten ${\displaystyle k}$ in die zugehörige Binärdarstellung.
• Ersetzen jeder 0 durch Q und jeder 1 durch QM.
• Nun wird Q als Anweisung zum Quadrieren und M als Anweisung zum Multiplizieren aufgefasst.
• Somit bildet die resultierende Zeichenkette von links nach rechts gelesen eine Vorschrift zur Berechnung von ${\displaystyle x^{k}}$. Man beginne mit 1, quadriere für jedes gelesene Q das bisherige Zwischenergebnis und multipliziere es für jedes gelesene M mit ${\displaystyle x}$.

Da die Binärdarstellung von ${\displaystyle k>0}$ immer mit der Ziffer 1 beginnt – und so ebenfalls die Anweisung mit QM beginnt –, ergibt sich für die erste Anweisung QM in jedem Fall das Zwischenergebnis ${\displaystyle 1^{2}\cdot x=x}$. Aus diesem Grund ergibt sich eine leicht vereinfachte Variante, bei der die erste Anweisung QM durch ${\displaystyle x}$ ersetzt wird.

Sei k = 23. Die Binärdarstellung von 23 lautet 10111. Daraus ergibt sich nach den Ersetzungen QM Q QM QM QM. Nach dem Streichen des führenden QM-Paares hat man Q QM QM QM. Daraus können wir nun ablesen, dass der Rechenvorgang folgendermaßen auszusehen hat: „quadriere, quadriere, multipliziere mit ${\displaystyle x}$, quadriere, multipliziere mit ${\displaystyle x}$, quadriere, multipliziere mit ${\displaystyle x}$“.

Formal sieht das Ganze so aus: ${\displaystyle \left(\left((x^{2})^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x}$ bzw. sukzessive geschrieben:

${\displaystyle x\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{2}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{4}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{5}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{10}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{11}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{22}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{23}}$

Man sieht am Beispiel, dass man sich mit Hilfe der binären Exponentiation einige Rechenschritte sparen kann. Anstatt von 22 Multiplikationen werden nur noch 7 benötigt, indem man viermal quadriert und dreimal mit ${\displaystyle x}$ multipliziert.

Der Algorithmus ist in zwei Varianten dargestellt. Variante 1 verwendet eine if-Bedingung, um an den entsprechenden Stellen zu multiplizieren. Variante 2 baut die if-Bedingung implizit in den arithmetischen Ausdruck ein.

// Berechnet x^k
// b   ... binäre Darstellung von k
// res ... Resultat der Berechnung

function bin_exp(x,b)
  res = 1
  for i = n..0
    res = res^2
    if b_i == 1
      res = res * x
    end-if
  end-for
  return res
end-function

// Berechnet x^k
// b   ... binäre Darstellung von k
// res ... Resultat der Berechnung

function bin_exp(x,b)
  res = 1
  for i = n..0
    res = res^2 * x^{b_i}
  end-for
  return res
end-function

Man kann das Verfahren für eine Berechnung von Hand auch so gestalten, dass man zunächst die Basis oft genug quadriert und anschließend die richtigen Zahlen miteinander multipliziert. Dann ähnelt es der Russischen Bauernmultiplikation, welche die Multiplikation zweier Zahlen auf das Halbieren, Verdoppeln und Addieren von Zahlen zurückführt.

Dazu schreibt man den Exponenten links und die Basis rechts. Der Exponent wird schrittweise halbiert (das Ergebnis wird abgerundet) und die Basis schrittweise quadriert. Man streicht die Zeilen mit geradem Exponenten. Das Produkt der nichtgestrichenen rechten Zahlen ist die gesuchte Potenz.

Anders als bei dem vorherigen Ansatz werden hier die benötigten Potenzen von ${\displaystyle x}$ direkt aufmultipliziert. Diese Variante bietet sich an, wenn der Exponent ${\displaystyle k}$ nicht explizit in Binärdarstellung vorliegt. Zur Veranschaulichung kann die Gleichheit ${\displaystyle x^{23}=x^{16}\cdot x^{4}\cdot x^{2}\cdot x}$ betrachtet werden.

Bestimmt werden soll ${\displaystyle x^{k}}$, ohne ${\displaystyle k}$ in Binärdarstellung vorliegen zu haben.

  // Berechnet x^k
  // res … Resultat der Berechnung

  function res = bin_exp(x,k)
    res = 1
    while k > 0
      if k mod 2 == 1
        res = res * x
      end-if
      x = x^2
      k = k DIV 2 //Ganzzahlige Division (das Ergebnis wird abgerundet)
    end-while
    return res
  end-function

Jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ lässt sich eindeutig in ${\displaystyle n=2m+b}$ zerlegen, wobei ${\displaystyle b\in \{0,1\}}$. Aufgrund der Potenzgesetze ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}&=a^{2m+b}\\&=(a^{m})^{2}a^{b}.\end{aligned}}}$

Der letzte Ausdruck beinhaltet lediglich

• eine Potenzierung mit einem Exponenten ${\displaystyle m}$, der nur noch etwa halb so groß wie ${\displaystyle n}$ ist, welche rekursiv mit demselben Algorithmus berechnet werden kann,
• eine Quadrierung,
• eine Multiplikation,
• eine Potenzierung mit 0 oder 1 als Exponent.

Eine direkte Implementation in Haskell sähe wie folgt aus:

    a^0 = 1
    a^1 = a
    a^2 = a*a
    a^n = (a^m)^2 * a^b where (m, b) = n `divMod` 2

Die Funktion ^, die hier definiert wird, stützt sich also auf ein vorhandenes * für die Multiplikation, divMod für die Abspaltung der untersten Binärstelle des Exponenten und, rekursiv, sich selbst.

Geringfügige Optimierungen, wie etwa die Umwandlung in eine endrekursive Variante, führen im Wesentlichen zu oben genannten iterativen Algorithmen.

Beim Rechnen modulo einer natürlichen Zahl ist eine leichte Modifikation anwendbar, die verhindert, dass die berechneten Zahlen zu groß werden: Man bildet nach jedem Quadrieren und Multiplizieren den Rest. Die zuvor vorgestellten Algorithmen können leicht durch diese Moduloperationen erweitert werden. Dieses Verfahren wird beispielsweise bei RSA-Verschlüsselung angewendet.

Bei der einfachen und langsamen Potenzierung von ${\displaystyle x^{k}}$ werden ${\displaystyle (k-1)}$ Multiplikationen benötigt. Bei der binären Exponentiation wird die Schleife lediglich ${\displaystyle \log _{2}(k)}$-mal durchlaufen (${\displaystyle \log _{2}(k)}$ entspricht hierbei ungefähr der Länge der Zahl ${\displaystyle k}$ in der Binärdarstellung). In jedem Schleifendurchlauf kommt es zu einer Quadrierung (wobei die erste Quadrierung vernachlässigt werden kann) und eventuell einer Multiplikation. Asymptotisch werden ${\displaystyle O(\log(k))}$ Operationen (eventuell Langzahloperationen) benötigt, wogegen ${\displaystyle O(k)}$ Operationen bei der einfachen Potenzierung zu Buche schlagen. ${\displaystyle O}$ bezeichnet eine asymptotische obere Schranke für das Laufzeitverhalten des Algorithmus. Wie man leicht einsieht, ist die binäre Exponentiation sehr viel effizienter als das einfache Verfahren. Dieser verringerte Anspruch an die Rechenleistung ist bei großen Basen und Exponenten enorm.

Die binäre Exponentiation muss nicht notwendig die multiplikationssparendste Berechnungsart einer Potenz sein. Um beispielsweise ${\displaystyle z=x^{15}}$ zu berechnen, kann man entweder gemäß binärer Exponentiation

${\displaystyle z=\left(\left((x^{2}\cdot x)^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x\right)}$

berechnen (6 Multiplikationen), oder aber

${\displaystyle z=y^{3}=y\cdot y^{2}}$ mit ${\displaystyle y=x^{5}=x\cdot (x^{2})^{2}}$

(insgesamt 5 Multiplikationen). Übersichtlicher schreibt man das, indem man nur die Folge der Exponenten der berechneten Potenzen aufschreibt, hier 1, 2, 4, 5, 10, 15, wobei jede der Zahlen Summe zweier vorangehender Zahlen der Folge ist; solche Folgen heißen Additionsketten. Ein Beispiel mit größerer Ersparnis ist der Exponent 367, für den man nacheinander die Potenzen mit den Exponenten 1, 2, 3, 5, 10, 20, 23, 43, 86, 172, 344, 367 berechnet, wobei die relativ aufwendig berechnete 23. Potenz zweimal verwendet wird: unmittelbar danach und ganz am Schluss. Dadurch werden gegenüber der binären Exponentiation drei Multiplikationen eingespart (11 statt 14).

Trotzdem ist in vielen Fällen die binäre Exponentiation das optimale Verfahren, weil die Berechnung der günstigsten Reihenfolge (also der kürzesten Additionskette) meist sehr viel aufwendiger ist als die Multiplikationen selbst, von denen man einige einspart. Anders ist es nur, wenn die Multiplikationen selbst sehr aufwendig sind (z. B. sehr große Matrizen) oder wenn viele Basen mit demselben Exponenten potenziert werden sollen.

Es wird ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ verwendet, wie in der Funktion pow aus der STL. Statt int kann jeder vorzeichenbehaftete ganzzahlige Datentyp verwendet werden, falls nötig. Zur Vereinfachung der Darstellung fehlt eine Überprüfung auf Overflow und Underflow. Für negative Exponenten werden die Zwischenschritte positiv exponentiert und das Gesamtergebnis dann reziprok genommen, was eine höhere Präzision und bessere Performance ergibt.

// b: basis
// e: Exponent
template<std::floating_point Fp, std::signed_integral Int>
Fp bin_exp( Fp b, Int e )
{
	Fp result = 1.0;
	make_unsigned_t<Int> uE = e >= 0 ? e : -e;
	auto next = [&] { uE >>= 1, b *= b; };
	for( ; uE; next() )
	{
		for( ; !(uE % 2); next() );
		result *= b;
	}
	return e >= 0 ? result : 1.0 / result;
}

• Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Vol 2. Addison-Wesley, 1998 (Section 4.6.3, S. 461).
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 120–121.