Ideal (Verbandstheorie)

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Verbandes ${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$ eine Teilmenge ${\displaystyle I,}$ die bezüglich beider Verbandsoperationen und bezüglich ${\displaystyle \wedge }$ sogar mit Elementen aus dem gesamten Verband abgeschlossen ist. Die Bezeichnung ist angelehnt an den Begriff des Ideals in der Ringtheorie.

Sei ${\displaystyle V}$ ein Verband. Ein Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle V}$ ist eine nicht leere Teilmenge von ${\displaystyle V}$ für die gilt:

• ${\displaystyle I}$ ist ein Unterverband von ${\displaystyle V}$ und
• für alle ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle b\in V}$ ist ${\displaystyle a\wedge b\in I.}$

Eine Halbordnung ${\displaystyle (P,\leq )}$ heißt bedingter Oberhalbverband (englisch conditional upper semi-lattice, kurz: Cusl), falls jedes beschränkte Paar ein Supremum besitzt, also falls für alle ${\displaystyle a,b\in P}$ gilt: Existiert ${\displaystyle u\in P}$ mit ${\displaystyle a,b\leq u}$, so existiert eine kleinste obere Schranke ${\displaystyle a\vee b=\sup\{a,b\}\in P}$.^[1]

Sei ${\displaystyle (P,\leq )}$ ein Cusl. Eine nicht-leere Teilmenge ${\displaystyle I\subseteq P}$ heiße ein Ideal von ${\displaystyle P}$, falls gelten:^[1]

• ${\displaystyle I}$ ist nach unten abgeschlossen, d. h., für ${\displaystyle a\in P}$, ${\displaystyle b\in I}$ und ${\displaystyle a\leq b}$ gilt ${\displaystyle a\in I}$.
• Sind Paarmengen ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq I}$ in ${\displaystyle P}$ beschränkt, d. h., es gibt ein ${\displaystyle u\in P}$ mit ${\displaystyle a,b\leq u}$, so ist ${\displaystyle a\vee b\in I}$.

Ein Cusl heißt σ-Cusl, falls für alle abzählbaren Teilmengen ${\displaystyle A=\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq P}$ von ${\displaystyle P}$ gilt: Ist ${\displaystyle A}$ nach oben beschränkt, so gibt es ein Supremum ${\textstyle \sup A=\bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in P}$.

Ein Ideal ${\displaystyle I\subseteq P}$ eines σ-Cusl ${\displaystyle P}$ heißt σ-Ideal, falls alle in ${\displaystyle P}$ nach oben beschränkten, abzählbaren Teilmengen von ${\displaystyle I}$ ihr Supremum in ${\displaystyle I}$ haben. Das heißt, ist ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I}$ und gibt es ein ${\displaystyle u\in P}$, sodass ${\displaystyle a_{n}\leq u}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so ist ${\textstyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in I}$.

Offenbar ist jeder Verband ein Cusl; in einem Verband definiert man ${\displaystyle a\leq b}$ als ${\displaystyle a\wedge b=a}$.

Die allgemeine Definition schließt die für Verbände mit ein.

• Filter (Mathematik)

1. ↑ ^{a b} Viggo Stoltenberg-Hansen, Ingrid Lindstrom und Edward R. Griffor: Mathematical theory of domains. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 1994.