Función hash

Una función resumen,^[1]​^[2]​^[3]​ en inglés hash function,^[4]​^[5]​ también conocida con los híbridos función hash o función de hash, convierte uno o varios elementos de entrada a una función en otro elemento. También se las conoce como función extracto, del inglés digest function, función de extractado y por el híbrido función digest.

Una función hash H es una función computable mediante un algoritmo tal que:

${\displaystyle H:U\rightarrow M}$

${\displaystyle x\rightarrow h(x)}$

La función hash tiene como entrada un conjunto de elementos, que suelen ser cadenas, y los convierte en un rango de salida finito, normalmente cadenas de longitud fija. Es decir, la función actúa como una proyección del conjunto U sobre el conjunto M.

Hay que tener en cuenta que M puede ser un conjunto definido de enteros. En este caso, podemos considerar que la longitud es fija si el conjunto es un rango de números de enteros, ya que podemos considerar que la longitud fija es la del número con mayor cantidad de cifras. Cabe destacar que es posible convertir todos los números a una cantidad específica de cifras simplemente anteponiendo ceros.

Normalmente el conjunto U tiene un número elevado de elementos y M es un conjunto de cadenas con un número acotado de símbolos. La idea básica de un valor hash es que sirva como una representación compacta de la cadena de la entrada. Por esta razón, se dice que estas funciones permiten resumir datos del conjunto dominio.

El término hash proviene, aparentemente, de la analogía con el significado estándar (en inglés) de dicha palabra en el mundo real: «picar y mezclar». Donald Knuth cree que H. P. Luhn, empleado de IBM, fue el primero en utilizar el concepto en un memorándum fechado en enero de 1953, aunque su utilización masiva no se produjo hasta después de 10 años.

• Al conjunto U se le llama dominio de la función hash. A un elemento de U se le llama preimagen o, dependiendo del contexto, clave o mensaje.
• Al conjunto M se le llama imagen de la función hash. A un elemento de M se le llama valor resumen, código hash o simplemente hash.

Se dice que se produce una colisión cuando dos entradas distintas de la función resumen producen la misma salida. De la definición de función resumen podemos decir que U, el dominio de la función, puede tener infinitos elementos. Sin embargo M, el rango de la función, tiene un número finito de elementos debido a que el tamaño de sus cadenas es fijo. Por tanto la posibilidad de existencia de colisiones es intrínseca a la definición de función hash. Una buena función resumen es una que tiene pocas colisiones en el conjunto esperado de entrada. Es decir, se desea que la probabilidad de colisión sea muy baja.

La definición formal dada, a veces se generaliza para poder aprovechar las funciones hash en otros ámbitos. Para ello a la función resumen se le añaden nuevos parámetros de forma que el valor hash no es solo función del contenido en sí, sino además de otros nuevos factores.

Para hallar valores resumen de ficheros a veces se usan, además del contenido en sí, diversos parámetros como el nombre del archivo, su longitud, hora de creación, etc.

Otras veces se añaden parámetros que permiten configurar el comportamiento de la función. Por ejemplo, la función resumen puede recibir como parámetro una función de generación de valores pseudoaleatorios que es usada dentro del algoritmo de la función hash.

Otros ejemplos de parámetros son el uso de valores sal, el uso de claves secretas, el uso de parámetros que especifican el rango de la función (funciones hash de rango variable), el uso de parámetros que especifican el nivel de seguridad que se quiere en el valor resumen de salida (funciones hash dinámicas), etc.

Una función resumen con clave H_K (en inglés: keyed hash function) es una función resumen H que tiene un parámetro secreto K que pertenece al conjunto posible de claves ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ y en la que para una entrada x, h_K(x) es el valor resumen de x. Al resto de funciones resumen se dice que son sin clave ({{Lang-en|unkeyed hash function|links=no).

La calidad de una función resumen viene definida con base en la satisfacción de ciertas propiedades deseables en el contexto en el que se va a usar.

Calcular el valor hash necesita poco costo (computacional, de memoria, etc.).

Una función hash comprime datos si puede mapear un dominio con datos de longitud muy grande a datos con longitud más pequeña

Se dice que una función resumen es uniforme cuando para una clave elegida aleatoriamente es igualmente probable tener un valor resumen determinado, independientemente de cualquier otro elemento.

Para una función hash H uniforme del tipo H:{0,1}^m→{0,1}ⁿ, es decir:

• Las cadenas están construidas sobre un alfabeto de 2 símbolos (Alfabeto binario)
• El dominio es el conjunto de las cadenas de longitud m
• El rango es el conjunto de las cadenas de longitud n

podemos decir que a cada resumen le corresponden 2^m-n mensajes y que la probabilidad de que dos mensajes den como resultado la misma salida es 2^-n

Para algoritmos de búsqueda, si todas las entradas son equiprobables, se busca esta propiedad para minimizar el número de colisiones, ya que, cuantas más colisiones haya, mayor será el tiempo de ejecución de las búsquedas.

En algunas funciones resumen el rango de valores resumen puede ser diferente a lo largo del tiempo. Ejemplo: funciones hash usadas para tablas resumen que necesitan expandirse. En estos casos a la función hash se le debe pasar un parámetro que le permita saber en qué rango se mueve la ejecución para hallar el valor resumen.

Se dice que la función resumen es inyectiva cuando cada dato de entrada se mapea a un valor resumen diferente. En este caso se dice que la función resumen es perfecta. Para que se dé, es necesario que la cardinalidad del conjunto dominio sea inferior o igual a la cardinalidad del conjunto imagen. Normalmente, sólo se dan funciones hash perfectas cuando las entradas están preestablecidas. Ejemplo: mapear los días del año en números del 1 al 366 según el orden de aparición.

Formalización:

${\displaystyle k1\neq k2}$ implica ${\displaystyle h(k1)\neq h(k2)}$

Cuando no se cumple la propiedad de inyectividad, se dice que hay colisiones. Hay una colisión cuando ${\displaystyle k1\neq k2}$ y ${\displaystyle h(k1)=h(k2)}$.

Una función hash se dice que es determinista cuando dada una cadena de entrada siempre devuelve el mismo valor hash. Es decir, el valor hash es el resultado de aplicar un algoritmo que opera solo sobre la cadena de entrada. Ejemplos de funciones hash no deterministas son aquellas funciones hash que dependen de parámetros externos, tales como generadores de números pseudoaleatorios o la fecha. Tampoco son deterministas aquellas funciones hash que dependen de la dirección de memoria en la que está almacenada la cadena de entrada. Esa dirección es accidental y no se considera un cambio de la cadena entrada en sí. De hecho puede cambiar dinámicamente durante la propia ejecución del algoritmo de la función hash.

El estudio de este tipo de propiedades es muy útil en el campo de la criptografía para los llamados 'códigos de detección de modificaciones'.

Se dice que una función resumen tiene resistencia a la primera preimagen o simplemente que tiene resistencia a preimagen (en inglés: preimage-resistant) si, dado un valor hash y, es computacionalmente inviable encontrar x tal que h(x)=y.^[5]​

Se dice que una función resumen tiene resistencia a la segunda preimagen (en inglés: second preimage-resistant) si dado un mensaje x, es computacionalmente inviable encontrar un x', ${\displaystyle x\neq x'}$, tal que h(x)=h(x').^[5]​

Se dice que una función hash tiene resistencia a colisiones o que es resistente a colisiones (en inglés: Collision Resistant Hash Function, CRHF) si encontrar un par ${\displaystyle (x,y)}$ con ${\displaystyle y\neq x}$ tal que ${\displaystyle h(x)=h(y)}$ es computacionalmente inviable. Es decir, es difícil encontrar dos entradas que tengan el mismo valor resumen.^[5]​

Como encontrar una segunda preimagen no puede ser más fácil que encontrar una colisión, entonces la resistencia a colisiones incluye la propiedad de resistencia a la segunda preimagen.^[6]​^[7]​ Por otro lado, se puede decir que la mayoría de las funciones resumen CRHF son resistentes a preimagen.^[5]​ La resistencia a colisiones implica resistencia a preimagen para funciones hash con salida aleatoria uniforme.^[8]​

En algunos trabajos a estas funciones se les llama funciones resumen de un solo sentido fuertes (en inglés: strong one-way hash function) para resaltar que es fuerte debido a que hay libre elección de los dos valores x e y.

Una función hash se dice que es una función resumen de un solo sentido (en inglés: One-Way Hash Function, OWHF) si tiene las propiedades de resistencia a preimagen y de resistencia a segunda preimagen. Es decir, es difícil encontrar una entrada cuya hash sea un valor resumen preespecificado.^[4]​

Nótese que es diferente a la definición general que se hace de funciones de un solo sentido.

Una función se dice que es una función de un solo sentido (OWF) si para cada x del dominio de la función, es fácil computar f(x), pero para todo y del rango de f, es computacionalmente inviable encontrar cualquier x tal que f(x)=y.^[5]​

La diferencia entre OWHF y OWF es que OWF no requiere que sea función resumen ni que sea resistente a segunda preimagen.

En algunos trabajos a estas funciones se les llama funciones hash de un solo sentido débiles (en inglés: weak one-way hash function) para resaltar que es débil en contraste con CRHF (que es fuerte) debido a que al cumplir la propiedad de resistencia a segunda preimagen no hay libre elección en la selección del valor x, y por tanto del valor h(x), en el que se tiene que producir la colisión.

H es resistente a la casi colisión (en inglés: near-colission resistance) si es difícil encontrar dos mensajes ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle m'}$ con ${\displaystyle m\neq m'}$ para las cuales sus imágenes ${\displaystyle H(m)}$ y ${\displaystyle H(m')}$ difieran solamente en unos pocos bits.^[9]​

Por ejemplo, podemos tener una función resistente a colisiones de 256 bits que no es resistente a la casi colisión porque se pueden encontrar casi-colisiones para los 224 bits de más a la izquierda.^[10]​

Son funciones en las que invirtiendo cierto coste en procesamiento de CPU y memoria es posible encontrar en tiempo razonable dos entradas que produzcan resultados en los que sus bits se parezcan en cierto grado. Por ejemplo, que se parezcan en un porcentaje de bits, o más comúnmente que sean iguales en los n bits más significativos.

Por ejemplo, con SHA1, para conseguir una colisión total con fuerza bruta, necesitaríamos ${\displaystyle 2^{160}}$ comprobaciones o al menos ${\displaystyle 2^{80}}$ usando la paradoja del cumpleaños. Sin embargo, si vamos reduciendo el número de bits más significativos que tienen que coincidir, el número de comprobaciones va bajando paulatinamente.

Una función resumen tiene resistencia a preimágenes parciales (en inglés: partial preimage resistance) si es difícil encontrar una parte de la preimagen de un valor hash incluso conociendo el resto de la preimagen. Es decir, se debe recurrir a la fuerza bruta: si se desconocen t bits de la preimagen, se deben realizar en promedio 2^n-t operaciones de hash para encontrarlo.^[11]​

A una función resumen resistente a preimágenes parciales también se le dice que es localmente de un solo sentido (en inglés: local one-wayness).

En algunas aplicaciones, las cadenas de entrada pueden contener características que son irrelevantes cuando comparamos las cadenas. Por ejemplo en algunas aplicaciones las mayúsculas pueden ser irrelevantes. Por tanto para hallar el valor hash es interesante ignorar las distinciones no relevantes entre las cadenas de entrada. De esta forma, cadenas distintas con diferencias no relevantes tienen asociados valores hash iguales.

Se dice que una función resumen es continua cuando una modificación minúscula (ej un bit) en la cadena de entrada ocasiona pequeños cambios en el valor hash.

En una función resumen se dice que no hay correlación cuando los bits de las cadenas de entrada y los bits de las cadenas de salida no están relacionados, es decir, cuando una modificación minúscula (por ejemplo un bit) en la cadena de entrada ocasiona cambios en el valor hash comparables a un cambio de cualquier otro tipo. Por tanto, cualquier cambio en el mensaje original idealmente hace que cualquiera de los bits del valor resumen resultante cambie con probabilidad 0.5. Cuando esto sucede (o casi) se dice que se produce un efecto avalancha.

En funciones resumen usadas para búsqueda, normalmente se buscan funciones tan continuas como sea posible; de forma que entradas que difieran un poco deberían tener valores hash similares o iguales. Sin embargo, la continuidad no es deseable para funciones resumen usadas para sumas de verificación o funciones criptográficas por evidentes razones.

Una función resumen con clave K, ${\displaystyle h_{K}(x)}$ se dice que tiene resistencia a la computación de nuevos valores hash (en inglés: computation-resistance) si a partir de un rango de pares conocidos ${\displaystyle (x_{i},h_{K}(x_{i}))}$ no puede ser computado para un nuevo dato x ${\displaystyle h_{K}(x)}$ con ${\displaystyle x\neq x_{i}}$ para cualquier i, sin que K sea conocida.^[12]​

Nótese que la propiedad anterior implica que no debería ser posible calcular K a partir de un rango de pares conocidos ${\displaystyle (x_{i},h_{K}(x_{i}))}$. A esta propiedad se la llama propiedad de no recuperación de clave (en inglés: key non-recovery).

El estudio de este tipo de propiedades son muy útiles en el campo de la criptografía para los llamados códigos de autenticación de mensajes.

Podríamos imaginarnos un algoritmo probabilístico de tiempo polinómico con dos mensajes codificados en el algoritmo que dan lugar a una colisión para una función resumen específica. El algoritmo simplemente devolvería los dos mensajes que causan la colisión. Crear tal algoritmo puede ser extremadamente difícil, pero una vez construido podría ser ejecutado en tiempo polinómico. Sin embargo, definir una familia de funciones resumen como una familia infinita de funciones resumen impide que la búsqueda de este algoritmo tenga éxito para todas las funciones resumen de la familia, porque hay infinitas. Por tanto, las familias de funciones resumen proporcionan un mecanismo interesante para el estudio y categorización de las funciones resumen respecto a su fortaleza frente a la búsqueda de colisiones por parte de un adversario. Este tipo de estudios es muy útil en el campo de la criptografía para los llamados códigos de detección de modificaciones.^[13]​

Sea ${\displaystyle D=\Sigma \ ^{l}}$, el dominio de la función, sea ${\displaystyle R=\Sigma \ ^{n}}$ el rango de la función. Sea ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ el conjunto de todas las posibles claves (teóricamente es infinito aunque en la práctica es finito),

Una familia de funciones hash ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ es un conjunto infinito de funciones hash de la forma ${\displaystyle H:{\mathcal {K}}\times \ D\rightarrow \ R}$ (notación equivalente ${\displaystyle H_{K}:D\rightarrow \ R)}$, donde cada función de la familia es indexada por una clave ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}$ que cumple las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ es accesible, es decir hay un algoritmo probabilístico de tiempo polinomial, que sobre una entrada ${\displaystyle K}$ devuelve una instancia ${\displaystyle H_{K}}$
• ${\displaystyle D}$ es muestreable, es decir, hay un algoritmo probabilístico de tiempo polinomial, que selecciona uniformemente elementos de ${\displaystyle D}$.
• ${\displaystyle H_{K}}$ es computable en tiempo polinomial, es decir, hay un algoritmo de tiempo polinomial (en l) que sobre una entrada ${\displaystyle M\in D}$ computa ${\displaystyle M\in D}$.

Ejemplo: SHA-1 es una sola instancia de función resumen, no una familia. Sin embargo SHA-1 puede ser modificado para construir una familia finita de funciones. M. Bellare y P. Rogaway^[14]​^[15]​ modificaron SHA-1 de tal forma que la claves especifica las constantes usadas en la cuarta ronda de las funciones. En este caso el tamaño de la clave es de 128 bits y por tanto ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\Sigma \ ^{128}}$, ${\displaystyle D=\Sigma \ ^{2^{64}}}$ y ${\displaystyle R=\Sigma \ ^{160*3}}$.

Observar que en la definición de una función resumen el dominio se puede formalizar como ${\displaystyle \Sigma \ ^{*}}$, sin embargo en una función resumen definida como instancia de un elemento de una familia de funciones resumen el dominio es ${\displaystyle \Sigma \ ^{l}}$. Esto se debe a que para que se cumplan las propiedades de seguridad es necesario que el dominio sea muestreado uniformemente en tiempo polinomial. Una familia de funciones ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ puede siempre ser definida con aquel tamaño apropiado para acomodar cualquier mensaje que sea necesario.

De forma informal una familia de funciones es familia de funciones resumen resistente a colisiones, también llamadas CRHF por sus siglas en inglés (Collision Resistant Hash Function), dada una función escogida aleatoriamente de la familia, un adversario es incapaz de obtener una colisión para ella.^[16]​

Se dice que una familia de funciones resumen es una (t,ε)-familia resumen resistente a colisiones ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ con la forma ${\displaystyle {\mathcal {H}}:\Sigma \ ^{k}\times \;\Sigma \ ^{n}\rightarrow \ \Sigma \ ^{l}}$ con n,l y k enteros positivos y n>=l, que satisfacen la siguiente condición: Sea ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un buscador de colisiones de cadenas que para una entrada K en el espacio de claves usa tiempo ${\displaystyle \leq \;t}$ y obtiene como salida ${\displaystyle \bot \;}$, un par ${\displaystyle x,x'\in \Sigma \ ^{n}}$ tal que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{K}(x)={\mathcal {H}}_{K}(x')}$. Para cada ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$,

${\displaystyle Pr_{K}[{\mathcal {F}}({\mathcal {H}})\neq \ \bot \ ]<\epsilon \ }$.

Observar que la probabilidad es tomada sobre las elecciones aleatorias de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.^[17]​

Mirando esta definición se ve que son interesantes aquellas familias que tienen un t/ε suficientemente grande.

Estrictamente hablando hablamos de familias CRHF pero por simplicidad se suele hablar simplemente de CRHF.

La definición no se mete en cómo se eligen las funciones resumen de la familia. Este punto es crucial.^[18]​ En realidad, en cualquier aplicación de funciones resumen resistentes a colisiones, alguna parte P tienen que elegir una función de la familia de forma aleatoria para producir la descripción de la función. Es importante distinguir entre dos casos:

• La elección aleatoria se puede hacer pública (o 'public-coin'). La elección aleatoria puede ser revelada como parte de la descripción de la función.
• La elección aleatoria se tiene que mantener secreta (o 'secret-coin'). La revelación la elección aleatoria realizada puede que permita encontrar colisiones. Por tanto P tiene que mantener secreta la elección después de producir la descripción de la función.

Evidentemente una familia CRHF elegible de forma pública (public-coin) también puede trabajar si uno elige o mantiene la elección de forma privada (secret-coin).

Una función resumen universal es una familia de funciones donde la probabilidad de colisión entre dos textos escogidos es despreciable.^[19]​

Una k-familia de funciones resumen universal es un conjunto H de funciones ${\displaystyle h:A\to \;B}$ tal que, para cada elemento ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in A}$ y todos los (no necesariamente distintos) ${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{k}\in B}$, se tiene${\displaystyle Pr_{h\in H}[h(x_{1})=b_{1}\land ...\land h(x_{k})=b_{k}]=|B|^{-k}}$^[20]​

Una familia de funciones resumen ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ es ε-casi universal o ε-AU (en inglés: ε-almost universal) si es menor que ε la probabilidad de que dos entradas distintas m,n tengan el mismo valor resumen asociado, estando la función resumen elegida aleatoriamente entre los miembros de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. De la definición se percibe que son interesantes aquellas familias que tienen un valor pequeño de ε indicando que el adversario no puede encontrar un par de entradas que producen el mismo valor resumen, para una función resumen elegida aleatoriamente de entre los elementos de la familia.^[21]​

Una familia de funciones resumen universal de un solo sentido, también llamadas UOWHF por sus siglas en inglés (Universal One-Way Hash Function), es una familia de funciones resumen universales donde, elegida una clave K aleatoriamente en el espacio de claves, dada una cadena x con valor resumen h_K(x) es difícil encontrar un x' distinta de x tal que h_K(x)=h_K(x'). Al par (x,x') se le llama par de colisión

Se dice que una familia de funciones resumen ${\displaystyle {\mathcal {F'}}}$ es (t,ε)-función resumen universal de un solo sentido (UOWHF) si no existe ningún adversario que en tiempo menor que t pueda ganar el siguiente juego con probabilidad mayor o igual que ε: El adversario escoge un valor x del Rango, entonces recibe una clave K del espacio de claves escogida de forma aleatoria. El juego se gana si encuentra un x' tal que h_K(x)= h_K(x').

El adversario está compuesto por dos algoritmos ${\displaystyle {\mathcal {F'}}=({\mathcal {F'}}_{1},{\mathcal {F'}}_{2})}$.

• ${\displaystyle F'_{1}}$ solo tiene como parámetro de entrada el conjunto de la familia de funciones resumen. Produce como salida x y State. x es el valor resumen objetivo y State es alguna información extra que puede ayudar a A₂ a encontrar la colisión.
• ${\displaystyle F'_{2}}$ tiene como parámetros de entrada K,x y State y produce como salida x'

por tanto

${\displaystyle Pr_{K}[{\mathcal {F'}}({\mathcal {H}})\neq \ \bot \ ]<\epsilon \ }$.

siendo ${\displaystyle \bot \;}$ un par ${\displaystyle (x,x')}$ con ${\displaystyle x\neq x'}$ tal que h_K(x)= h_K(x')

Observar que, al igual que en la definición de (t,ε)-CRHF la probabilidad es tomada sobre las elecciones aleatorias de ${\displaystyle {\mathcal {F'}}}$. La gran diferencia es que aquí la entrada x se fija primero.

Mirando esta definición se ve que son interesantes aquellas familias que tienen un t/ε suficientemente grande.^[22]​^[23]​

La noción de familia UOWHF es más débil que la de familia CRHF. En una CRHF, al oponente primero se le da la clave y después ella o él tiene que producir la pareja de entradas que colisiona. Encontrar colisiones para un parámetro fijo de una UOWHF, puede que sea bastante más fácil, pero esto no ayudará a un oponente a comprometer la seguridad.^[24]​ Simon ha demostrado que existe un oráculo relativo al cual UOWHF existe, pero no CRHF.^[25]​

Dados los siguientes valores:

• H(), una función hash SHA-256.
• id, un número aleatorio elegido entre un conjunto de números, llamado PUZZLE-ID.
• Y, un rango de resultados/valores hash válidos.

El objetivo es encontrar una solución x, que forma parte de la entrada de la función.

y = ${\displaystyle \mathrm {H} }$(id || x) ϵ Y

Se dice que una función hash es amistosa a los puzles, si para cualquier valor de salida y dentro del rango de valores de Y, en este caso como es SHA-256 sería 2²⁵⁶ valores posibles; con una id perteneciente a una muestra de alta incertidumbre, encontrar una x específica sería imposible en un tiempo significativamente menor a 2²⁵⁶ computaciones. La única forma de encontrarla es recorrer el espacio de forma aleatoria, debido a su tamaño. Esto es la característica primordial de esta propiedad y hace posible la descentralización.

Se puede reformular diciendo que, para resolver el puzle, se debe encontrar una x que genere un resultado contenido en el intervalo de Y.

• Si hay más posibles resultados y en el conjunto Y, hay más posibles soluciones de x. Si el rango del conjunto Y corresponde a todo el intervalo de este mismo rango, el problema es trivial.
• Si solamente hay un único valor y en el conjunto Y, es lo más complicado posible, e incluso imposible si la función H es unidireccional.

La dificultad del puzle depende directamente del tamaño que tiene el rango Y.

La propiedad de resistencia a colisiones se cumple, pues existe un valor de x para cada valor de y del conjunto Y.

Muchas funciones hash se construyen mediante un proceso iterativo siguiente hasta conseguir el valor hash de la entrada X, h(X).

El número de bits de la entrada X (en principio de longitud arbitraria) tiene que ser múltiplo de la longitud de bloque. Para conseguirlo se tiene una regla de relleno que alarga la entrada a una longitud aceptable. Normalmente esta regla consiste en añadir al final de la entrada unos símbolos adicionales a los que se llama relleno o padding. Se divide la entrada en bloques de longitud fija obteniendo un conjunto de bloques x₁,...,x_t y se realiza un proceso iterativo de la siguiente forma:

H₀=IV

H_i=f(x_i,H_i-1), i=1,2,...,t y

h(X)=g(H_t).

Donde:

• Al valor IV se le llama valor inicial y se representa por esas siglas por el término inglés initial value.
• A la función f se la llama función de ronda o función de compresión.
• A la función g se la llama transformación de salida. Lo que hace la función g es derivar a partir de H_t tantos bits como se quieran en la salida de la función. Frecuentemente g es la función identidad o un truncamiento de H_t.

En este tipo de descripción de funciones hash hay dos elecciones importantes que afectarán a las propiedades que tendrá la función:

• La elección de la regla de relleno. Si lo que se quiere es evitar colisiones es recomendable que la regla de relleno no permita que existan dos mensajes que sean rellenados al mismo mensaje.
• La elección de valor inicial (IV). Debería ser definido como parte de la descripción de la función hash.

A las funciones que se construyen mediante el anterior sistema se dice que son funciones resumen iterativas.

A esta forma de construcción recursiva se la conoce también como construcción de Merkle-Damgård debido a que fue usado por primera vea por R. Merkle e I. Damgård independientemente en 1989.^[4]​^[26]​^[27]​

Muchas de las aplicaciones de las funciones hash son relativas al campo de la criptografía (Cifradores, acumuladores criptográficos, firma digital, protocolos criptográficos de autenticación, etc.). La criptografía es una rama de las matemáticas que proporciona herramientas para conseguir seguridad en los sistemas de información. Las funciones resumen interesantes en el área de la criptografía se caracterizan por cumplir una serie de propiedades que permiten a las utilidades criptográficas que las utilizan ser resistentes frente ataques que intenten vulnerar la seguridad del sistema. A las funciones hash que cumplen estas propiedades se les llama funciones hash criptográficas.

A continuación se detallan algunas aplicaciones de las funciones hash:

• Construcción de estructuras de datos: Su uso en distintas estructuras de datos hacen más eficientes las búsquedas, y/o permiten asegurar los datos que contienen. Ejemplos: tablas resumen, árboles de Merkle, listas resumen.
• Construcción de esquemas de compromiso. Los esquemas de compromiso permiten que una entidad elija un valor entre un conjunto finito de posibilidades de tal forma que no pueda cambiarla. Esa entidad no tiene que revelar su elección hasta si acaso el momento final (la elección puede permanecer oculta).
• Construcción de algoritmos de cifrado/descifrado. Por ejemplo se usa en la construcción de cifradores de flujo y de cifradores de bloque.
• Construcción de algoritmos generadores de números pseudoaleatorios.
• Construcción de cadenas pseudoaleatorias. Por ejemplo el llamado modelo de oráculo aleatorio se basa en considerar que funciones hash con ciertas propiedades se comportan como funciones que escogen cadenas al azar, se usa para el estudio de la seguridad los esquemas criptográficos.
• Construcción de algoritmos de testeo de pertenencia o no a un conjunto.- Se han usado funciones hash para la construcción de acumuladores criptográficos y filtros de Bloom. Estas tecnologías permiten establecer mecanismos que permiten pronunciarse, a veces con cierto grado de error, sobre la pertenencia o no a cierto conjunto.
• Construcción de métodos de generación de sellos de tiempo confiables.

• En la firma digital
  • Como dato que se firma: en los algoritmos de firma convencionales normalmente en lugar de firmar todo el contenido se suele ser firmar solo el valor hash del mismo. Algunas de las motivaciones para hacer esto son:^[28]​
    • Cuando se usa para firmar algoritmos de firma por bloques donde los mensajes son más largos que el bloque, no es seguro firmar mensajes bloque a bloque ya que un enemigo podría borrar bloques del mensaje firmado o insertar bloques de su elección en el mensaje antes de que sea firmado. Al usar una función hash hacemos una transformación que hace a la firma dependiente de todas las partes del mensaje.
    • Normalmente los valores hash son mucho más cortos que los datos originales de entrada. Se puede mejorar mucho la velocidad de firma firmando el valor hash en lugar de firmar el dato original.
    • Si los mensajes a firmar pueden tener cierta estructura algebraica y el algoritmo de firma se comporta de forma que el sistema resultante puede ser vulnerable a criptoanálisis con ataques de texto escogido, podemos usar funciones hash para destruir esta estructura algebraica.
  • Como parte del algoritmo de firma: se han desarrollado algoritmos de firma que usan funciones hash en el propio algoritmo de firma como una herramienta interna del mismo. Ejemplo de este tipo algoritmos son el esquema de firma de Merkle.
• Suma de verificación (checksum): cuando se quiere almacenar o transmitir información, para proteger frente a errores fortuitos en el almacenamiento o transmisión, es útil acompañar a los datos de valores hash obtenidos a partir de ellos aplicando funciones hash con ciertas propiedades de forma que puedan ser usados para verificar hasta cierto punto el propio dato. Al valor hash se le llama Suma de verificación.
• Prueba de la integridad de contenidos: por ejemplo, cuando se distribuye un contenido por la red, y se quiere estar seguro de que lo que le llega al receptor es lo que se está emitiendo, se proporciona un valor resumen del contenido de forma que ese valor tenga que obtenerse al aplicar la función resumen sobre el contenido distribuido asegurando así la integridad. A esto se le suele llamar checksum criptográfico debido a que es un checksum que requiere el uso de funciones resumen criptográficas para que sea difícil generar otros ficheros falso que tengan el mismo valor resumen. Otro ejemplo de uso de esta tecnología para verificar la integridad es calcular y guardar el valor resumen de archivos para poder verificar posteriormente que nada (Ej un virus) los haya modificado. Si en lugar de verificar la integridad de un solo contenido lo que se quiere es verificar la integridad de un conjunto de elementos, se pueden usar algoritmos basados en funciones resumen como los árboles de Merkle que se basan en aplicar reiteradamente las funciones resumen sobre los elementos del conjunto y sobre los valores resumen resultantes.

• Autenticación de entidades: por ejemplo, es frecuente el uso para este propósito de funciones resumen deterministas con clave secreta que tienen ciertas propiedades (Códigos de autenticación de mensajes). En estos esquemas tanto el servicio de autenticación, o verificador, como la entidad que se quiere autenticar mantienen en secreto la clave de la función resumen. El esquema funciona de la siguiente forma: El que se quiere autenticar genera un mensaje y calcula su valor resumen. Estos dos datos se mandan al verificador. El verificador comprueba que el valor resumen se corresponde con el mensaje enviado y de esta forma verifica que la entidad tiene la clave secreta y por otra parte puede asegurar que el mensaje es íntegro (no ha sido modificado desde que se calculó el valor resumen). Observar que el esquema no tiene la propiedad del no-repudio por parte del que se quiere autenticar ya que el verificador, al disponer de la clave secreta, puede generar también los valores resumen.
• Protección de claves: para comprobar la corrección de una clave no es necesario tener la clave almacenada, lo que puede ser aprovechado para que alguien no autorizado acceda a ella, sino almacenar el valor resumen resultante de aplicar una función resumen determinista. De esta forma para verificar si una clave es correcta basta con aplicar la función resumen y verificar si el resultado coincide con el que tenemos almacenado. Si además queremos que la contraseña sea de un solo uso podemos usar cadenas de resumen como en S/KEY
• Derivación de claves: por ejemplo, en algunas aplicaciones se usan funciones resumen para derivar una clave de sesión a partir de un número de transacción y una clave maestra. Otro ejemplo de aplicación sería el uso de funciones resumen para conseguir sistemas de autenticación con claves de un solo uso. En este tipo de sistemas la clave es válida para un solo uso. Estos sistemas se basan en tener un semilla inicial y luego ir generando claves (mediante un algoritmo que puede usar funciones resumen) que pueden tener un solo uso y así evitar ataques de REPLAY.

Se pueden usar funciones hash para proporcionar una identificación de objetos o situaciones. Una buena función hash para este propósito debería ser rápida y asegurarse de que dos objetos o situaciones que se considerar iguales den lugar al mismo valor hash. Observar que dos objetos o situaciones pueden ser considerados iguales sin ser idénticos. Por ejemplo podemos considerar iguales a dos ficheros que son distintos bit a bit porque realmente son la digitalización de la misma película. Es labor del diseño de la función hash capturar la esencia del criterio de igualdad. Por otra parte la evaluación de la función hash debería ser poco costosa para facilitar la rápida comparación de elementos candidatos a ser iguales y de esta forma poder implementar algoritmos de búsqueda rápidos.

• Huellas digitales: el uso de funciones hash aplicados a cadenas permiten obtener valores hash que pueden usarse para detectar fácilmente la aparición de esos datos en distintos sitios. Pueden ser usados para distintos usos como búsqueda de virus, autenticación con datos biométricos, detección de copias, etc. La idea puede usarse más allá de textos y ser aplicado a cualquier tipo de contenido multimedia:^[29]​^[30]​ Las funciones hash específicamente diseñadas para este propósito obtienen valores hash que permiten detectar características intrínsecas del contenido multimedia, de forma que se pueda identificar si dos archivos diferentes se corresponden con el mismo contenido multimedia. Como aplicación práctica de este tipo de algoritmo tenemos los programas que se ejecutan en dispositivos móviles y que son capaces de adivinar el título de la canción que está sonando en la habitación solamente capturando el sonido y comparándolo con estos valores hash. Este tipo de algoritmos también se puede utilizar para protección de contenidos multimedia ya que permite validar automáticamente si cierto fichero multimedia está protegido o no por derechos de autor.
• Identificación de contenidos: en algunas aplicaciones se usa el valor hash de un contenido multimedia para identificar ese contenido independientemente de su nombre o ubicación. Esto es ampliamente usado en redes peer-to-peer que intercambian de archivos, tales como Kazaa, Ares Galaxy, Overnet, BitTorrent.
• Identificación de un registro en una base de datos: ello permite un acceso más rápido a los registros (incluso más rápido que teniendo índices).
• Algoritmos de búsqueda de subcadenas: los algoritmos de búsqueda de subcadenas tratan el problema de buscar subcadenas, a la que llaman patrón, dentro de otra cadena a la que llaman texto. Hay algoritmos de este tipo que usan funciones hash en su implementación. Ejemplo: algoritmo Karp-Rabin.
• Detección de virus: Para detectar los virus, muchos antivirus definen funciones hash que capturan la esencia del virus y que permiten distinguirlos de otros programas o virus. Es lo que se llama firma del virus. Estas firmas son usadas por los antivirus para poder detectarlos.

• Función hash criptográfica
• Código de detección de modificaciones
• Código de autenticación de mensajes

• Funciones hash para búsqueda en tablas hash (en inglés).
• Generador de resúmenes: generador en línea de hashes (CRC, MD2, MD4, MD5, SHA1, Tiger, Snefru, RipeMD, Whirlpool, Haval, entre otros). Aproximadamente 123 algoritmos y 200 modos (Hex, Base64).
• (en inglés) «Dictionaries and hash tables» David Eppstein, Universidad de California en Irvine.