Operad

En matemáticas, se llama operad a una estructura construida a partir de operaciones abstractas, cada una de las cuales tiene un número finito de entradas (argumentos) y una sola salida como resultado, así como unas reglas sobre como se deben componer esas operaciones. Dado un operad ${\displaystyle O}$, se define un álgebra sobre ${\displaystyle O}$ como un conjunto dotado de operaciones en sus elementos de forma que se comportan como las operaciones abstractas de ${\displaystyle O}$. Por ejemplo, existe el llamado operad de Lie ${\displaystyle L}$ tal que las álgebras sobre ${\displaystyle L}$ son precisamente las álgebras de Lie. De esta manera, el operad ${\displaystyle L}$ es una forma de abstraer en un objeto matemático las operaciones que comparten entre sí todas las álgebras de Lie. El operad de relaciona con sus álgebras de manera similar a como un grupo se relaciona con las representaciones del grupo.

La teoría de operads tiene su origen en la topología algebraica, donde fueron introducidas en 1969 por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt con el fin de caracterizar ciertos espacios de lazos.^[1]​ y por J. Peter Mayin 1970^[2]​. May creó la palabra "operad" como un acrónimo de "operaciones" y "mónada", a lo que se une también el hecho de que su madre era cantante de ópera.^[3]​

El interés por la teoría de operads recobró actualidad a finales del siglo XX a partir de que, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich, Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la llamada dualidad de operads de Koszul.^[4]​^[5]​ Desde entonces, las operaciones han encontrado muchas aplicaciones como, por ejemplo, en la cuantización por deformación de las variedades de Poisson, en la conjetura de Deligne, o la homología de grafos dentro de los trabajos de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

• Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. 
• Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8. 
• «Operads and PROPs». arXiv:math/0601129. 
• Stasheff, Jim (June–July 2004). «What Is...an Operad?». Notices of the American Mathematical Society 51 (6): 630-631. Consultado el 17 de enero de 2008. 
• Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno (2012), Algebraic Operads, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 346, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-30361-6, archivado desde el original el 23 de agosto de 2011, consultado el 13 de enero de 2023 .
• Zinbiel, Guillaume W. (2012), «Encyclopedia of types of algebras 2010», en Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, eds., Operads and universal algebra, Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics 9, pp. 217-298, Bibcode:2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116 .
• Fresse, Benoit (17 de mayo de 2017), Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups, Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3480-9 .
• Miguel A. Mendéz (2015). Set Operads in Combinatorics and Computer Science. SpringerBriefs in Mathematics. ISBN 978-3-319-11712-6.
• Samuele Giraudo (2018). Nonsymmetric Operads in Combinatorics. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6.