La topología más fina localmente convexa en un espacio vectorial topológico (EVT) en
el producto tensorial de dos EVT localmente convexos, hace que la aplicación canónica separadamente continua
(definida enviando
a
) se denomina topología inductiva o topología
. Cuando
está dotado de esta topología, se denota por
y se denomina producto tensorial inductivo de
e
.
Sean
y
espacios vectoriales topológicos localmente convexos y
una aplicación lineal.
es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y
es una aplicación abierta, donde
la imagen de
tiene la topología subespacial inducida por
- Si
es un subespacio de
, entonces tanto la aplicación cociente
como la inyección canónica
son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal
se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera:
donde
define una biyección.
- El conjunto de operadores lineales continuos
(respectivamente, operadores bilineales continuos
) se denotará por
(respectivamente,
), donde si
es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir
(respectivamente,
).
- Se denota el espacio dual de
por
y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en
sean continuos o no) por
- Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de
con una comilla después del símbolo (por ejemplo,
denota un elemento de
(no confundir con una derivada) y las variables
y
no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
- Una aplicación lineal
desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si
para cada
En este caso, existe una aplicación positiva única
llamada raíz cuadrada de
tal que
- Si
es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces
es siempre positivo. Ahora, denótese como
su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de
Defínase
primero en
configurando
para
y extendiendo
continuamente a
y luego definir
en
configurando
para
y extender esta aplicación linealmente a todo
La aplicación
es una isometría sobreyectiva y 
- Un aplicación lineal
se llama compacta o completamente continua si existe un entorno
del origen en
tal que
es precompacta en
- En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como
, tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:
- Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0,
y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero
de
(
) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios
son ortogonales por pares; (2) para cada
y cada
; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por
es igual al núcleo de
Notación para topologías
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denota la topología más gruesa en
, lo que hace que cada aplicación en
sea continua y
o
denota el espacio
dotado con esta topología.
denota la topología *débil sobre
y
o
denota
dotado con esta topología.
- Cada
induce una aplicación
definida por
es la topología más burda de
, lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
denota la topología de convergencia acotada en
y
o
denota
dotado con esta topología.
denota la topología de convergencia acotada en
o la topología dual fuerte en
y
o
denota
dotado con esta topología.
- Como es habitual, si
se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es 
Supóngase que
es un espacio localmente convexo y que
es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma
dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de
.
Entonces, cuando el dominio de
está restringido a
(el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio
de operadores lineales continuos
En particular, el espacio dual continuo de
es canónicamente isomorfo al espacio
(el espacio de formas bilineales continuas separadas en
).
Si
es una topología sobre un EVT localmente convexa en
(
con esta topología se indicará como
), entonces
es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:
- Para cada EVT localmente convexo
si
es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma
dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de
entonces cuando el dominio de
está restringido a
(espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio
de operadores lineales continuos 
- Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
- Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156.
- Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
- Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822.
- Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061.
- Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
- Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
- Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.