Regla del producto (cálculo)

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,}$

o usando la notación de Leibniz:

${\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)=u\;{dv \over dx}+v\;{du \over dx}}$

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}$

con ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$ continuas y diferenciables en la variable ${\displaystyle x}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g\cdot h)(x+\Delta x)-(g\cdot h)(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}\end{aligned}}}$

Como

${\displaystyle g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x),}$

se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

${\displaystyle f'(x)=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}$

Como ${\displaystyle h}$ es continua en ${\displaystyle x}$ se tiene

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}$

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle x}$ se tiene también que

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\qquad \qquad {\text{y}}\qquad \qquad g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}$

Suponiendo que se quiere derivar:

${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(x)}$

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

${\displaystyle f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}$

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}$

Para una colección de funciones ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ tenemos

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x){\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)=\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}}$

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la ${\displaystyle n}$-ésima derivada del producto de dos factores.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ funciones ${\displaystyle n}$ veces diferenciables. La ${\displaystyle n}$-ésima derivada del producto ${\displaystyle f\cdot g}$ viene dada por:

${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$

donde ${\displaystyle {n \choose k}}$ es el coeficiente binomial, y se sigue el convenio ${\displaystyle f^{(0)}=f}$.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la ${\displaystyle n}$-ésima derivada de un número arbitrario de factores

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{\binom {n}{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}}$

Supóngase que ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ y ${\displaystyle Z}$ son espacios de Banach y ${\displaystyle B:X\times Y\to Z}$ es un operador bi lineal continuo, entonces ${\displaystyle B}$ es diferenciable y su derivada en el punto ${\displaystyle (x,y)}$ en ${\displaystyle X\times Y}$ es el mapeo lineal ${\displaystyle D_{(x,y)}B:X\times Y\to Z}$ dado por

${\displaystyle \left(D_{(x,y)}B\right)(u,v)=B(u,y)+B(x,v)\quad \forall \;(u,v)\in X\times Y}$

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar: ${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$

Para producto vectorial: ${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$

• Derivada
• Regla del cociente

• Weisstein, Eric W. «Regla del producto». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.