Invariant de Seiberg-Witten

En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leurs applications, il y a la preuve de la conjecture de Thom (de), l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.

Soit ${\displaystyle M}$ une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin Spin^c ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ avec un faisceaux de spineurs associés ${\displaystyle W^{\pm }}$ et un faisceau déterminant ${\displaystyle L}$ .

Pour une 2-forme auto-duale générique ${\displaystyle \eta }$, l'espace ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension

${\displaystyle i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))}$ .

Le groupe de jauge ${\displaystyle {\mathcal {G}}=Map(M,S^{1})}$ et son sous-groupe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\}}$ opèrent sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. L' espace quotient ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}}$ est un ${\displaystyle S^{1}}$ - faisceau de fibres principal sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}}$ . Soit ${\displaystyle e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )}$ sa classe d'Euler.

Si ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ est impair, alors la dimension de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ un nombre pair ${\displaystyle i(L)=2d}$ . On définit alors

${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\int _{\mathcal {M}}e^{d}}$.

Pour ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$, cet invariant ne dépend pas de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle \eta }$ et est appelé l'invariant de Seiberg-Witten ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})}$.

Dans ce qui suit, ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ est impair et ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$. Une classe de cohomologie ${\displaystyle c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ est appelée classe de base si elle a une structure spin^c ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ avec ${\displaystyle c_{1}(L)=c}$ et ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})\not =0}$.

• Si ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ est un difféomorphisme préservant l'orientation, alors ${\displaystyle SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}})}$.
• Pour chaque classe de base ${\displaystyle c}$ on a ${\displaystyle c\cdot c\geq 2\chi (M)+3sign(M)}$.
• Pour la structure duale spin^c ${\displaystyle {\mathfrak {s}}^{*}}$, on a ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}})}$.
• ${\displaystyle M}$ n'a qu'un nombre fini de classes de base.
• Si ${\displaystyle M}$ a une métrique de courbure scalaire positive, alors ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0}$ pour tous ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.
• Si ${\displaystyle M=X\sharp Y}$ pour des 4-variétés ${\displaystyle X,Y}$ compactes, orientables et lisses avec ${\displaystyle b_{2}^{+}>0}$, alors ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0}$ pour tous ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.
• Si ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0}$ et si, pour une structure de spin^c ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{X}}$ avec ${\displaystyle c_{1}=c_{X}}$, on a l'inégalité ${\displaystyle c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0}$ alors ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=SW(M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})}$ .
• Pour une surface plongée, compacte et orientable ${\displaystyle \Sigma \subset M}$ du genre ${\displaystyle g(\Sigma )}$, on a ${\displaystyle 2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert }$ pour chaque classe de base ${\displaystyle c}$.
• Si ${\displaystyle M}$ est une variété symplectique avec une structure de spin^c canonique ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{can}}$, alors ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}_{can})=1}$.

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Seiberg-Witten-Invariante » (voir la liste des auteurs).

• John Douglas Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1629), 2001, 2^e éd., viii + 121 (ISBN 3-540-41221-2, zbMATH 1036.57014).
• Liviu Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 28), 2000, 2^e éd., xviii + 484 (ISBN 0-8218-2145-8, zbMATH 0978.57027).
• Alexandru Scorpan, The wild world of 4-manifolds, Providence, RI, American Mathematical Society, 2005, xv + 609 (ISBN 0-8218-3749-4, zbMATH 1075.57001).

• Dietmar Salamon : Spin geometry and Seiberg-Witten invariant

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