Liste de grands nombres

En mathématiques, grand nombre n'a pas de sens bien défini^[1] : d'une part, l'« ensemble des grands nombres entiers » admettrait un plus petit élément, créant un paradoxe analogue à celui du paradoxe des nombres intéressants ; d'autre part, tout « grand nombre » N est ridiculement petit devant, par exemple, 2^N. Ces deux remarques banales ont cependant pu être exploitées pour donner naissance, la première, à celle d'entier non standard, la seconde, à la notion d'entier inaccessible^[2].

• ${\displaystyle 6,022\times 10^{23}}$ est une approximation du nombre d'Avogadro (nombre d'entités dans une mole)
• ${\displaystyle 10^{100}}$ est le gogol. Ce terme a été suggéré par le neveu, âgé de 9 ans, du mathématicien américain Edward Kasner, mort en 1955.
• ${\displaystyle 10^{120}}$ est le nombre de Shannon, une approximation, de sa part, du nombre de parties possibles au jeu d'échecs
• ${\displaystyle 10^{140}}$ est l'Asamkhyeya
• ${\displaystyle 10^{600}}$, le plus grand nombre accepté en lexicographie dans le système des puissances de dix, est le centillion^{[réf. souhaitée]}, utilisé pour la première fois en 1952. Il s'agit de la 100^e puissance d'un million, soit 1 suivi de 600 zéros.
• ${\displaystyle 10^{({10}^{100})}}$ est le gogolplex
• ${\displaystyle {10}^{\,\!4\times 2^{10000}}}$ est le myryllion
• La fonction d'Ackermann est connue pour générer de très grands nombres à partir du moment où les arguments sont assez grands. Ainsi, A(4,4) est déjà immensément plus grand que tous les nombres précédents.
• Le nombre de Graham G (ou g₆₄) (il concerne les hypercubes et la théorie de Ramsey) ne peut plus être noté à l'aide de la fonction d'Ackermann ; il vérifie ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$ (voir notation des flèches chaînées de Conway)
  • Il est facile de créer des nombres encore plus grands ; un exemple est A(g₆₄,g₆₄) (écrit par xkcd « simplement pour horrifier les mathématiciens »^[3])
  • Cependant, ce dernier nombre est en fait lui aussi plus petit que ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$, lui-même immensément plus petit que ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}$.

D'autres exemples sont donnés dans l'article Ordres de grandeur de nombres ; l'article Hiérarchie de croissance rapide donne des moyens de construction de nombres (finis) dépassant toutes les notations précédemment mentionnées. Voir enfin l’article Nombre de Rayo pour une description d’un nombre bien plus grand encore.

En théorie des ensembles on définit des nombres infinis, appelés nombres ordinaux, qui prolongent en l'incluant la suite des entiers naturels. L'idée est qu'un ordinal est l'ensemble de ses prédécesseurs, ainsi le plus petit ordinal infini est l'ensemble des ordinaux finis c'est-à-dire l'ensemble N des entiers naturels. Le processus de construction continue indéfiniment et par exemple le deuxième ordinal infini comporte tous les entiers plus N. Parmi ces nombres ordinaux, qui cernent la notion de bon ordre, on définit des nombres dits cardinaux, qui eux, cernent la notion intuitive de nombre d'éléments. Parmi ces nombres cardinaux, certains particulièrement grands sont justement appelés grands cardinaux et cardinaux inaccessibles.

• Hiérarchie de croissance rapide
• Échelles longue et courte
• Nom des grands nombres
• Notation des flèches chaînées de Conway
• Notation des puissances itérées de Knuth
• Ordre de grandeur (nombres)
• Paradoxe des nombres intéressants
• Numération indienne incluant notamment des grands nombres (lakh, crore...)

v · m Grands nombres entiers
Séquences de 1 000 à 9 999	Nombres 1 000 à 1 999 Nombres 2 000 à 2 999 Nombres 3 000 à 3 999 Nombres 4 000 à 4 999 Nombres 5 000 à 5 999 Nombres 6 000 à 6 999 Nombres 7 000 à 7 999 Nombres 8 000 à 8 999 Nombres 9 000 à 9 999
Séquences de 10 000 à 9 999 999 999	Nombres 10 000 à 99 999 Nombres 100 000 à 999 999 Nombres 1 000 000 à 9 999 999 Nombres 10 000 000 à 99 999 999 Nombres 100 000 000 à 999 999 999 Nombres 1 000 000 000 à 9 999 999 999
Grands nombres remarquables	142 857 (nombre cyclique et nombre de Kaprekar) 144 000 (1 baktun du compte long maya) 1 048 576 (20e puissance de deux) 4 294 967 296 (32e puissance de deux) 4 294 967 297 (nombre de Fermat) 107 928 278 317 (cf. triplet pythagoricien et théorème de Green-Tao)
Notions générales sur les grands nombres	Hiérarchie de croissance rapide Infini Nom des grands nombres Notation des flèches chaînées de Conway Notation des puissances itérées de Knuth Ordre de grandeur Paradoxe des nombres intéressants Numération indienne
Liste de grands nombres

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

• Arithmétique et théorie des nombres