Oscillation (mathématiques)

Cet article concerne l'oscillation en mathématiques. Pour l'oscillation en physique, voir Oscillation.

L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite à varier entre des valeurs extrémales. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de réels, oscillation d'une fonction à valeurs dans un espace métrique (comme ℝ), en un point ou sur une partie de son domaine de définition.

L'oscillation ω(a) d'une suite réelle a = (a_n)_n est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :

${\displaystyle \omega (a)=\limsup(a)-\liminf(a)\in [0,+\infty ].}$

Elle est définie sauf si cette différence est de la forme (+∞) – (+∞) ou (–∞) – (–∞), c'est-à-dire si la suite tend vers +∞ ou vers –∞. Elle vaut +∞ lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.

Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation ω_f(U) de f sur une partie non vide U de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de f sur U :

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

Plus généralement, si f est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, ω_f(U) est le diamètre de l'image de U par f :

${\displaystyle \omega _{f}(U)={\rm {diam}}{\Big (}f(U){\Big )}=\sup _{x,y\in U}d{\Big (}f(x),f(y){\Big )}\in [0,+\infty ].}$

Elle est toujours définie, et vaut +∞ lorsque la fonction n'est pas bornée sur U.

Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on définit l'oscillation ω_f(a) de f en un point quelconque a de X comme la borne inférieure de ses oscillations ω_f(U) quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou même seulement une base W(a) de V(a) :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\inf _{U\in V(a)}\omega _{f}(U)=\inf _{U\in W(a)}\omega _{f}(U).}$

Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\limsup _{V(a)}f-\liminf _{V(a)}f=\limsup _{W(a)}f-\liminf _{W(a)}f.}$

On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, ε) de centre a et de rayon ε > 0 et vérifier que

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}{\Big (}B(a,\varepsilon ){\Big )},}$

ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}\left(]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [\cap X\right).}$

L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a^[1].

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où f n'est définie que sur une partie Y de X à laquelle a est seulement adhérent, en remplaçant le filtre V(a) des voisinages de a par celui, V_Y(a), de leurs intersections avec Y. L'oscillation de f en a est nulle si et seulement si le filtre image, f(V_Y(a)), est de Cauchy. Lorsque l'espace métrique d'arrivée E est complet, cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une limite en a pour f.

Lorsque X est métrisable et E complet, si f est continue sur le sous-espace Y, elle s'étend continûment au G_δ des points adhérents à Y en lesquels l'oscillation de f est nulle^[2].

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ à toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Y = ℕ, en considérant a = +∞, adhérent à ℕ dans son compactifié d'Alexandrov X = ℕ∪{+∞}.

• Les seules suites périodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes.
• L'oscillation de la suite a_n = (–1)ⁿ vaut 2.
• L'oscillation de la fonction x ↦ 1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre élément de ℝ.
• Celle de la fonction sinus vaut 2 en ±∞, et 0 ailleurs.
• Celle de x ↦ sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

L'application a ↦ ω_f(a) permet de quantifier les discontinuités de f et de les classer.

Elle est en outre semi-continue supérieurement, donc l'ensemble Δ(f) des points de discontinuité de f est un F_σ, comme réunion des fermés Δ_n(f) = {a ∈ X | ω_f(a) ≥ 1/n}. Par passage au complémentaire, l'ensemble des points de continuité de f est un G_δ, intersection dénombrable des ouverts {a ∈ X | ω_f(a) , 1/n}.

Cela fournit aussi une preuve très rapide de l'une des deux directions du critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann^[3], à savoir : si Δ(f) n'est pas Lebesgue-négligeable, alors f n'est pas Riemann-intégrable, puisque I₊(f) – I_–(f) ≥ λ(Δ_n(f))/n.

• (en) Edwin Hewitt et Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, 1965, p. 78
• (en) John C. Oxtoby, Measure and Category, Springer, coll. « GTM » (n^o 2), 1996, 4^e éd., 124 p. (ISBN 978-0-387-90508-2), p. 31–35
• (en) C. C. Pugh, Real Mathematical Analysis, Springer, 2002, 440 p. (ISBN 978-0-387-95297-0, lire en ligne), p. 164-165

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Oscillation (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

• Continuité de Cauchy
• Fonction à variation bornée
• Module de continuité
• Fonction à oscillation moyenne bornée
• Série de Grandi
• Théorème de Froda

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