Capacità (matematica)

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Una capacità, detta anche probabilità non additiva, è una funzione di insieme ${\displaystyle \nu }$ definita su un'algebra ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ di sottoinsiemi di un insieme ${\displaystyle X}$ che gode delle seguenti proprietà:

• L'insieme vuoto ha misura nulla:

${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$ .

• Monotonia: Se E₁ ed E₂ appartengono ad ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}~\Longrightarrow ~\nu (E_{1})\leq \nu (E_{2})}$

Infine deve soddisfare la seguente proprietà:

${\displaystyle \nu (X)=1}$ .

A differenza della misura di probabilità non è richiesta l'additività.

Poiché non è richiesta l'additività, la seguente proprietà

${\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}$

per ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$, generalmente non è soddisfatta in senso stretto. Infatti si dice che una capacità è concava se

${\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\leq \nu (A)+\nu (B)}$

o che è convessa se

${\displaystyle \nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)\geq \nu (A)+\nu (B)}$

Le capacità sono usate nell'integrale di Choquet e nella teoria delle decisioni dove costituiscono la base del modello di Schmeidler.

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «capacità»

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