Higher polynomials

Эта статья предлагается для быстрого удаления. Причина: ВП:НЕОРИСС. Автоподтверждённые участники имеют право снять или заменить этот шаблон в случаях, оговорённых в правилах. Если вы не согласны с необходимостью быстрого удаления, поставьте шаблон {{hangon}} прямо под этим сообщением и сразу же объясните необходимость оставления на странице обсуждения. Последнее изменение сделано участником FedyaRcon (вклад · журналы) в 11:41, 16 декабря 2023 (UTC; менее 2 часов назад). Администраторам и подводящим итоги: ссылки сюда история журналы удалить

${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g+v=0,\quad a\neq 0.}$

Уравнения такого вида является разрешимым в аналитических радикалах, только тогда когда ${\displaystyle v,\quad a\neq 0.}$ является параметром, имеющий фиксированное значение. Его можно вычислить по резольвенте кубического уравнения с четырьмя уравнениями в системе. При этом остальные коэффициенты останутся неизменными.

${\displaystyle {\begin{cases}2a+2b=-{\dfrac {2t}{p}},\\(a+b)^{2}+2ab={\dfrac {r}{p}},\\2ab(a+b)={\dfrac {w}{p}},\\(a^{2})(b^{2})={\dfrac {n}{p}},+{\dfrac {v}{ap}},-{\dfrac {q^{2}}{4p}}-{\dfrac {t^{2}}{p}}-{\dfrac {qt}{p}},\\\end{cases}}}$

Для того чтобы найти коэффициенты ${\displaystyle p,q,r,w,n}$ Необходимо убрать коэффициент ${\displaystyle bx^{5}}$ При помощи выделения полной шестой степени, можем выразить значения коэффициентов, где:

${\displaystyle p={\dfrac {12ac-5b^{2}}{12a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\dfrac {27a^{2}d+5b^{3}-18abc}{27a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\dfrac {24acb^{2}-5b^{4}-72bda^{2}-144ea^{3}}{144a^{4}}}}$ ${\displaystyle w={\dfrac {-6ab^{3}c+27da^{2}b^{2}-108ea^{3}b+b^{5}+324a^{4}f}{324a^{5}}}}$ ${\displaystyle n={\dfrac {46656a^{5}g+36ab^{4}c-5b^{6}-216a^{2}b^{3}d+1296ea^{3}b^{2}-7776a^{4}bf}{46656a^{6}}}}$ Для следующего вида уравнения: ${\displaystyle y^{6}+py^{4}+qy^{3}+ry^{2}+wy+n+{\dfrac {v}{a}}=0,\quad a\neq 0.}$ Для которого ${\displaystyle x=y-{\dfrac {b}{6a}}}$ Распределим слагаемые в разных частях уравнения.

${\displaystyle y^{6}+qy^{3}=-py^{4}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}}$

Также добавим к обеим частям ${\displaystyle +{\dfrac {q^{2}}{4}}}$ для того чтобы снова получить полный квадрат. По итогу получим: ${\displaystyle (y^{3}+{\dfrac {q}{2}})^{2}=-py^{4}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}}$ Добавим в полный квадрат параметр: ${\displaystyle t}$ тогда соответственно добавим справа ещё 3 слагаемых: ${\displaystyle t^{2},qt,2ty^{3}.}$ По итогу мы получили такое уравнение: ${\displaystyle (y^{3}+{\dfrac {q}{2}}+t)^{2}=-py^{4}+2ty^{3}-ry^{2}-wy-n-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}+qt+t^{2}}$ Система которую мы записали характерна для следующего разложения. Коэффициенты a;b в системе являются корнями, такого полинома: ${\displaystyle (x+a)^{2}(x+b)^{2}=x^{4}+(2b+2a)x^{3}+(a^{2}+4ab+b^{2})x^{2}+(2a^{2}b+2b^{2}a)x+b^{2}a^{2}}$ Из которых соответственно выходит данная система для такого уравнения: ${\displaystyle -py^{4}+2ty^{3}-ry^{2}-wy-n-qt-t^{2}-{\dfrac {v}{a}}+{\dfrac {q^{2}}{4}}}$ где находятся два параметра ${\displaystyle t}$ - является независимым параметром, а ${\displaystyle v}$ предстоит выразить для общего случая.

${\displaystyle {\begin{cases}2a+2b=-{\dfrac {2t}{p}},\\(a+b)^{2}+2ab={\dfrac {r}{p}},\\2ab(a+b)={\dfrac {w}{p}},\\(a^{2})(b^{2})={\dfrac {n}{p}}+{\dfrac {v}{ap}}-{\dfrac {q^{2}}{4p}}-{\dfrac {t^{2}}{p}}-{\dfrac {qt}{p}},\\\end{cases}}}$